3.2.2 第1课时 两点分布与二项分布-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦“两点分布与二项分布”，通过实例导入，从两点分布概念过渡到伯努利试验及二项分布，以微点助解、思维建模为支架，构建从基础概念到实际应用的知识脉络。 其亮点在于以实例驱动培养数学眼光，通过问题拆解训练数学思维，用规范分布列与公式表达强化数学语言。梯度训练覆盖基础到综合，助力学生掌握应用，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

3.2.2 几个常用的分布 两点分布与二项分布 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.了解两点分布的概念.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其应用. 2.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题.会求服从二项分布的随机变量的分布列. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1-p 1.两点分布 如果随机变量X只取值0或1，且其概率分布是P(X=1)=_，P(X=0)=____，p∈(0，1)，则称随机变量X服从两点分布，记作X~B(1，p). 2.二项分布 (1)伯努利试验(n次独立重复试验) 一般地，在__________下进行n次重复试验，如果每次试验只有两种可能的结果_____，并且_____保持不变，各次试验的结果相互独立，那么称这样的试验为伯努利试验，它也是一种n次独立重复试验. p 相同条件 A与 P(A) (2)二项分布 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A出现的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则X有概率分布： P(X=k)=__________，k=0，1，…，n，其中q=1-p. 称随机变量X服从二项分布，记作__________，其中n，p为参数，p为事件发生的概率. pkqn-k X~B(n，p) |微|点|助|解| 1.二项分布的特点 (1)对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生. (2)重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变. (3)X的取值从0到n，中间不间断. 2.二项分布中各个参数的意义 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在n次独立重复试验中，各次试验结果之间没有影响. (　　) (2)在n次独立重复试验中，各次试验成功的概率可以不同. (　　) (3)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次与事件A恰好在第k次发生不一样. (　　) (4)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮命中的次数X是一个随机变量，且X~B(10，0.6). (　　) 基础落实训练 √ × √ √ 2.下列问题中的随机变量不服从两点分布的是 (　　) A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X C.从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X= D.某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X √ 解析：A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，故选A. 3.已知X~B，则P(X=4)=__________.  4.连续掷一枚硬币5次， 恰好有3次出现正面向上的概率是______________.  课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　两点分布 [例1]　已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的概率分布. 解：由题意知，X服从两点分布，P(X=0)==， 所以P(X=1)=1-=. 所以随机变量X的概率分布为 X 0 1 P |思|维|建|模| 两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X=0)(或P(X=1))，便可求出P(X=1)(或P(X=0))； (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它. 针对训练 1.袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求X的概率分布. 解：从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下：X=则X显然服从两点分布，且P(X=1)==， ∴P(X=0)=1-=，∴X的概率分布为 X 0 1 P 题型(二)　n次独立重复试验中的概率计算 [例2]　若某射击手每次射击击中目标的概率为p(0<p<1)，每次射击的结果相互独立.在他连续8次射击中，“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的，则p的值为(　　) A.B. C. D. 解析：因为射击手每次射击击中目标的概率为p，且每次射击的结果相互独立，由题可得p3(1-p)5=p5(1-p)3，即(1-p)2=p2，解得p=或p=(舍去). √ [例3]　某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势，计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植A，B，C的概率分别为，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的概率为(　　) A. B. C. D. √ 解析：4人中，至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的可能性共有3种：①有2人愿意种植A，愿意种植B，C的各有1人，②有2人愿意种植A，有2人愿意种植B，③有3人愿意种植A，有1人愿意种植B，故所求概率P=××××+××× +××=. 　|思|维|建|模|　独立重复试验求概率的三个步骤 判断 依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验 分拆 判断所求事件是否需要分拆 计算 就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算 针对训练 2.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1 s等可能地向左或向右移动1个单位，共移动6次.求下列事件的概率. (1)质点回到原点； 解：设质点向右移动的次数为X，质点每隔1 s等可能地向左或向右移动1个单位，共移动6次，且每次移动是相互独立的，则X~B. 当质点回到原点时，X=3，则P(X=3)=××=， 所以质点回到原点的概率是. (2)质点位于4的位置. 解：当质点位于4的位置时，X=5， 则P(X=5)=××=， 所以质点位于4的位置的概率是. 题型(三)　二项分布的简单计算 [例4]　已知随机变量X~B(4，p)，若P(X=2)=，则p=(　　) A. B.或 C. D.或 √ 解析：因为X~B(4，p)，所以P(X=2)=p2(1-p)2=6p2(1-p)2=，且0<p<1，整理可得p(1-p)=，解得p=或p=. [例5]　某人寿保险公司规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元，活过65岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过65岁的概率都是0.9，随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为X，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为Y万元.则P(Y<200)= (　　) A.0.972 B.0.729 C.0.486 D.0.243 √ 解析：依题意知X~B(3，0.9)，因为3个投保人中，活过65岁的人数为X，所以没活过65岁的人数为3-X，因此Y=100(3-X)+5X=300-95X(X=0，1，2，3).所以P(Y<200)=P(X=2)+P(X=3)=×0.92×(1-0.9)+×0.93=0.972. |思|维|建|模| (1)当X服从二项分布时，应弄清X~B(n，p)中的试验次数n与成功概率p. (2)解决二项分布问题的两个关注点 ①对于公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式. ②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次. 针对训练 3.设随机变量ξ~B(2，p)，η~B(3，p)，若P(ξ≥1)=，则P(η≥2)的值为(　　) A. B. C. D. √ 解析：易知P(ξ=0)=(1-p)2=1-，∴p=， 则P(η≥2)=p3+p2(1-p)=+=. 4.已知随机变量X~B，若使P(X=k)的值最大，则k=(　　) A.6或7 B.7或8 C.5或6 D.7 解析：由随机变量X~B，可得P(X=k)=pkq20-k， 其中p=，q=.由==>1， 解得k<6.当k=6时，==1， 所以P(X=7)=P(X=6).当k>6时，P(X=k+1)<P(X=k)， 所以P(X=7)和P(X=6)的值最大. √ 题型(四)　二项分布的实际应用 [例6]　高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验. (1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率； 解：至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功.设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X，则P(X=3)=××=，P(X=4)=××=，P(X=5)=××=，所以至少有3次发芽成功的概率为P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=++=. (2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数不大于5，求第二小组所做的种子发芽试验次数ξ的分布列. 解：随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，5，则P(ξ=1)=，P(ξ=2)=×=，P(ξ=3)=×=，P(ξ=4)=×=，P(ξ=5)==.所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 　[变式拓展] 在本例条件不变的情况下，求： (1)第一小组做了3次试验(每次试验种一粒种子)，该小组试验成功的次数为X，求X的分布列； 解：由题意，得随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 且X~B.则P(X=0)=××=， P(X=1)=××=，P(X=2)=××=， P(X=3)=×=.所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率. 解：第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为P=×××=. |思|维|建|模| 　　对于综合题，首先要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次要判断事件是A+B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用事件的加法或乘法公式；最后选用相应的古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解. 5.为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X. (1)写出X的分布列； 针对训练 解：由题意知，X~B(3，0.9)， 则P(X=0)=×0.90×(1-0.9)3=0.001， P(X=1)=×0.91×(1-0.9)2=0.027， P(X=2)=×0.92×(1-0.9)1=0.243， P(X=3)=×0.93×(1-0.9)0=0.729， 从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 (2)求出计算机网络不会断掉的概率. 解：要使得计算机网络不会断掉， 也就是要求能正常工作的设备至少有一台， 即X≥1，因此所求概率为 P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-0.001=0.999. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.已知X服从两点分布，若P(X=0)=5P(X=1)，则P(X=1)= (　　) A. B. C. D. √ 解析：由题意得P(X=0)+P(X=1)=6P(X=1)=1，则P(X=1)=.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.[多选]随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的是 (　　) A.每次出现正面向上的概率都为0.5 B.第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25 C.出现n次正面向上的概率为0.510 D.出现n次正面向上的概率为0.5n √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析：随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，每次出现正面向上的概率都是0.5，故A正确；第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.5，故B错误；出现n次正面向上的概率为×0.5n×0.=0.510，故C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.已知X~B，则P=(　　) A. B. C. D. √ 解析：P=P(X=2)+P(X=3)=+=.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 4.[多选]一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，若该射手射击四次命中次数为ξ，每次命中的概率为p，则(　　) A.ξ~B(4，p) B.P(ξ≥1)= C.p=或p= D.p= 解析：因为该射手射击四次命中次数为ξ，每次命中的概率为p，所以ξ~B(4，p).依题意可知，P(ξ≥1)=，所以1-P(ξ=0)=1-(1-p)4=，所以(1-p)4=，所以p=或p=(舍去). √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，比赛采取5局3胜制，假设每局比赛相互独立且没有平局，若每局比赛甲胜的概率为，则比赛在第4局结束的概率为(　　) A. B. C. D. √ 解析：打完第4局比赛结束，包含以下两种情况：第4局甲赢，前三局甲赢两局，概率为×××=；第4局乙赢，前三局乙赢两局，概率为×××=，∴打完第4局比赛结束的概率为+=，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.甲、乙两人进行比赛，假设每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，且各局比赛互不影响.若采用5局3胜制，则概率最大的比赛结果是 (　　) A.乙3∶2赢得比赛 B.甲3∶0赢得比赛 C.甲3∶1赢得比赛 D.甲3∶2赢得比赛 √ 解析：若乙3∶2赢得比赛，则乙前四场赢两场，第五场赢，故其概率为P=×0.62×0.43=2.16×0.43=0.138 24；同理若甲3∶2赢得比赛，则其概率为P=×0.42×0.63=0.96×0.63=0.207 36；若甲3∶0赢得比赛，则甲前三场都赢，其概率为P=0.63=0.216；若甲3∶1赢得比赛，则甲前三场赢两场，第四场赢，其概率为P=×0.4×0.63=1.2×0.63=0.259 2.综上，甲3∶1赢得比赛的概率最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.已知某种疾病的某种疗法的治愈率为90%.若有1 000位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，P(X=k)>P(X=1 000-k)，则 (　　) A.k≤499 B.k≤500 C.k≥500 D.k≥501 √ 解析：由题意知X~B(1 000，0.9)，故P(X=k)=0.9k×0.11 000-k，P(X=1 000-k)=0.91 000-k×0.1k，由P(X=k)>P(X=1 000-k)得0.9k×0.11 000-k>·0.91 000-k×0.1k，即0.9k×0.11 000-k >0.91 000-k×0.1k，所以>，即92k-1 000>1， 2k-1 000>0，解得k>500.因为k∈N，所以k≥501.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)已知X服从参数为0.3的两点分布，则P(X=0)=____________；若Y=3X-2，则P(Y=1)=______________.  解析：因为X服从参数为0.3的两点分布，所以P(X=1)=0.3，P(X=0)=1-0.3=0.7.当Y=1时，Y=3×X-2=1，解得X=1，所以P(Y=1)=P(X=1)=0.3. 0.7　 0.3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)一名学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为____________.  解析：由1->0.9，得<0.1，∴n≥4. 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)将一枚质地均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为______________.  解析：正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P=×+×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的n个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，那么不需要进行补播种，否则要补播种.当n=__________时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为______________.  5或6　 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：对一个坑而言，要补播种的概率P=+=，则有3个坑要补播种的概率为·=.要使最大， 只需解得5≤n≤6， 所以n=5或n=6.当n=5时，=， 当n=6时，=，所以当n=5或n=6时， 有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)(2025·全国Ⅱ卷，节选)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数k≥2，记pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率. (1)求p3，p4(用p表示)；(5分) 解：3球后甲比乙至少多两分，只能是甲3分乙0分，因此p3=p3； 4球后甲比乙至少多两分，可能是甲4分乙0分，或者甲3分乙1分， 因此p4=p3q+p4=4p3q+p4=4p3(1-p)+p4=4p3-3p4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若=4，求p.(5分) 解：根据对称性，以及(1)的结果，可得q3=q3，q4=4q3-3q4， 因为=====4， 因此=2，又p+q=1，故p=，q=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)某杂志社对投稿的稿件要进行评审，评审的程序如下：先由两位专家进行初审.若两位专家的初审都通过，则予以录用；若两位专家的初审都不通过，则不予录用；若恰能通过一位专家的初审，则再由另外的两位专家进行复审，若两位专家的复审都通过，则予以录用，否则不予录用.假设投稿的稿件能通过各位专家初审的概率均为，复审的稿件能通过各位专家复审的概率均为，且每位专家的评审结果相互独立. (1)求投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率；(5分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：由题意可得投到该杂志社的1篇稿件初审直接被录用的概率P1==. 投到该杂志社的1篇稿件初审没有被录用，复审被录用的概率P2=×××=.故投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率P=P1+P2=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)记X表示投到该杂志社的3篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列.(10分) 解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3， 且X~B，P(X=0)=×=， P(X=1)=××==，P(X=2)=××==， P(X=3)=×=.则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $