3.2.1 离散型随机变量及其分布 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.2 课时1 离散型随机变量及其分布 【学习目标】 1.了解随机变量和离散型随机变量的概念.(数学抽象) 2.理解离散型随机变量分布列的概念并运用其解决简单的分布列问题.(数学建模、数据分析) 3.掌握离散型随机变量的性质,并运用其解决问题.(数学运算、数据分析) 【自主预习】 1.任何随机试验的结果都可以用数字表示吗? 【答案】　可以.实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系,根据问题的需要选择相应数字. 2.离散型随机变量的取值必须是有限个吗? 【答案】　不一定.可以是无限个,如1,2,3,…,n,…. 3.抛掷一枚骰子,朝上的一面的点数X有哪些值?取每个值的概率是多少? 【答案】　 X的取值有1,2,3,4,5,6, 则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,P(X=6)=. 4.若如下表格为离散型随机变量的分布列,则m为何值? X 1 2 3 4 P m 　　【答案】　由离散型随机变量分布列的性质可知,+m++=1,故m=1---=. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)离散型随机变量的取值是任意的实数. (　　) (2)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个. (　　) (3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值. (　　) (4)随机变量是用来表示不同试验结果的量. (　　) 【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示(　　). A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局 C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】　D 　　【解析】　因为甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分, 所以{ξ=3}有两种情况,即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次. 3.在考试中,需回答三个问题,规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分.则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是　　　　.  【答案】　300, 100, -100, -300 【解析】　该同学回答这三个问题的总得分情况有4种,分别为答对3题;答对2题,答错1题;答对1题,答错2题;答错3题.所以X的所有可能取值是300,100,-100,-300. 4.一批产品分为一、二、三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品是二级品的一半,从这批产品中随机抽取一个检验质量,其级别为随机变量X,求X的分布列及 P(X>1). 【解析】　依题意,有P(X=1)=2P(X=2),P(X=3)=P(X=2). 由分布列的性质得,1=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=P(X=2),所以P(X=2)=, 所以X的分布列如下: X 1 2 3 P 　　故P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=. 【合作探究】 探究1　随机变量 　　在奥运射击运动中,运动员射击一次,可能出现命中0环,命中1环,…,命中10环等结果,若用X来表示他一次射击所命中的环数,则X即为随机变量. 问题1:在上述情景中,随机变量X的取值情况如何? 【答案】　 随机变量X的结果可由0,1,…,10,共11个数来表示. 问题2:上述随机变量X是自变量吗? 【答案】　不是.它是随试验结果变化而变化的,不是主动变化的. 问题3:随机变量的取值必须是有限个吗? 【答案】　不一定.随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个. 新知生成 随机变量 (1)定义:如果随机试验每一个可能结果e,都唯一地对应着一个实数X(e),则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量. (2)表示:随机变量通常用字母X,Y,ξ,η,…表示. 新知运用 例1　写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (1)袋中有大小相同的红球10个,白球5个,从袋中每次任取1个球,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数; (2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和. 【解析】　(1)设所需的取球次数为X,则X=1,2,3,4,…,10,11. {X=i}表示“前i-1次取到红球,第i次取到白球”,i=1,2,…,11. (2)设所取卡片上的数字之和为X,则X=3,4,5,…,11. {X=3}表示“取出标有1,2的两张卡片”; {X=4}表示“取出标有1,3的两张卡片”; {X=5}表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”; {X=6}表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”; {X=7}表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”; {X=8}表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”; {X=9