3.1.2 事件的独立性与乘法公式 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.1 课时2 事件的独立性与乘法公式 【学习目标】 1.理解事件的独立性的定义.(数学抽象) 2.掌握独立事件的概率乘法公式,并能运用它解决实际问题.(数学运算、数据分析) 3.掌握乘法公式及其推广,能用乘法公式计算相应的概率.(数学运算、数据分析) 【自主预习】 1.前面我们学过相互独立事件,它的定义是什么,事件A,B相互独立的条件是什么? 2.必然事件、不可能事件与任意事件是否相互独立? 3.根据条件概率公式,什么情况下P(B|A)=P(B)? 4.如果三个事件A,B,C不相互独立,那么如何求P(ABC)呢? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件. (　　) (2)对于任意两个事件A,B,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立. (　　) (3)公式P(AB)=P(A)P(B),可以推广为P(ABC)=P(A)P(B)P(C). (　　) (4)若P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An),则A1,A2,…,An相互独立. (　　) 2.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击,则他们同时中靶的概率是 (　　). A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 3.分别掷两枚质地均匀的硬币,若“第一枚为正面”记为事件A,“第二枚为正面”记为事件B,“两枚结果相同”记为事件C,则事件A与B,A与C间的关系是(　　). A.A与B,A与C均相互独立 B.A与B相互独立,A与C互斥 C.A与B,A与C均互斥 D.A与B互斥,A与C相互独立 4.甲、乙两人独立破译一份密码,已知各自能破译的概率分别是,,求: (1)两人都成功破译的概率; (2)密码被成功破译的概率. 【合作探究】 探究1　相互独立事件的定义 问题1:两个事件相互独立与互斥有什么区别? 问题2:公式P(AB)=P(A)P(B)使用的前提条件是什么? 问题3:独立性的概念可以推广到任意有限个事件的情形吗? 新知生成 事件的相互独立 如果n(n>2)个事件A1,A2,…,An中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响,那么称事件 A1,A2,…,An相互独立. 新知运用 例1　(多选题)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (　　 ). A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.乙与丁相互独立 　　从一副扑克牌(52张,不含大王、小王)中任抽一张,设A=“抽得老K”,B=“抽得红牌”,那么事件A与B是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么? 探究2　相互独立事件的概率公式 问题:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)使用的前提条件是什么? 新知生成 相互独立事件的概率公式 一般地,当n(n>2)个事件A1,A2,…,An相互独立时,有以下公式成立: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An). 注意:上式并不表示A1,A2,…,An相互独立. 新知运用 例2　已知快乐中学高一某班小丽、小许、小静三人分别独自进行投篮训练,命中的概率分别是,,.设每个人各次投篮都相互独立. (1)若小许投篮三次,求恰有两次命中的概率; (2)若小丽、小许、小静三人各投篮一次,求至少一人命中的概率. 【方法总结】　求相互独立事件同时发生的概率的步骤:(1)首先确定各事件之间是相互独立的;(2)确定这些事件可以同时发生;(3)求出每个事件的概率,再求积.注意:使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生. 　　面对某种病毒,各国医疗科研机构都在研究疫苗,现有A,B,C三个独立的研究机构,他们在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是,,.求: (1)他们都研制出疫苗的概率; (2)他们都失败的概率; (3)他们能够研制出疫苗的概率. 探究3　乘法公式 　　在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这个正四面体木块两次,并记录每次正四面体木块朝上的面上的数字,记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”,事件B为“第一次记录的数字为偶数”,事件C为“第二次记录的数字为偶数”. 问题1:事件A与事件B是相互独立事件吗? 问题2:事件A,B,C是否两两独立? 问题3:事件A,B,C是否相互独立? 问题4:若P(AB)>0,如何证明P(ABC)=P(A)