2.4 课时1 空间直线的方向向量和平面的法向量 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

2.4 课时1 空间直线的方向向量和平面的法向量 【学习目标】 1.理解直线的方向向量和平面的法向量.(数学抽象、直观想象) 2.会用待定系数法求平面的法向量.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.如何用向量来确定一个点在空间的位置? 2.对于平面上的直线,可以用平面向量刻画其方向.对于空间直线,是否也可用空间向量来刻画其方向? 3.如何用向量来确定一个平面的位置? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)零向量能作为直线的方向向量. (　　) (2)直线的方向向量都是相等向量. (　　) (3)直线的方向向量是不唯一的. (　　) (4)平面的法向量是唯一的. (　　) 2.若A(1,2,3),B(2,1,0)在直线l上,则直线l的一个方向向量是(　　). A.(1,-1,-3) B.(-1,1,-3) C.(3,3,3) D.(-3,0,1) 3.已知平面α过点P(0,1,1),其法向量为n=(1,1,2),则下列点不在平面α内的是(　　). A.(2,1,0) B.(-1,0,2) C.(2,-1,2) D.(2,3,-1) 4.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　. 【合作探究】 探究1 直线的方向向量 问题1:直线的方向向量是唯一的吗?若不唯一,直线的方向向量之间的关系是怎样的? 问题2:两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系? 问题3:零向量可以是直线的方向向量吗? 新知生成 一般地,如果非零向量v与直线l平行,就称v为l的方向向量. 已知空间直线l上一个定点A以及这条直线的一个方向向量,就可以确定这条空间直线的位置. 新知运用 例1　如图所示,在空间直角坐标系中,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,PB⊥平面ABCD,且PB=AB=2,若点Q在PC上,求下列直线的一个方向向量: (1)PQ;(2)PA. 【方法总结】　　1.一条直线有无穷多个方向向量,这些方向向量是相互平行的;2.直线 l 的方向向量也是所有与 l 平行的直线的方向向量.这个可由直线方向向量的定义和平行直线的传递性推知. 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为2,三棱柱的高为1,BC,B1C1的中点分别为D,D1,以D为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.求下列直线的一个方向向量: (1)AD1;(2)B1A. 探究2 平面的法向量 如图,设两条直线相交于点O,它们确定平面α,对应的方向向量分别为a和b,P为空间内任意一点. 问题1:点P在平面α内的充要条件是什么? 问题2:若⊥α,试问与向量a和b有什么关系? 问题3:什么是平面α的法向量?是平面α的法向量吗? 问题4:如何选取平面的法向量? 新知生成 1.平面的法向量 如果非零向量n所在直线与平面α垂直,那么称n为平面α的一个法向量. 给定一点A和一个向量n,那么,过点A且以向量n为法向量的平面是完全确定的. 2.坐标平面的法向量的特征 (1)坐标平面xOy的法向量与z轴平行,故(0,0,z)(z≠0)均可作为平面xOy的法向量,常取(0,0,1). (2)坐标平面xOz的法向量与y轴平行,故(0,y,0)(y≠0)均可作为平面xOz的法向量,常取(0,1,0). (3)坐标平面yOz的法向量与x轴平行,故(x,0,0)(x≠0)均可作为平面yOz的法向量,常取(1,0,0). 新知运用 例2　如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=. 求:(1)平面ABCD的一个法向量; (2)平面SAB的一个法向量; (3)平面SCD的一个法向量. 【方法总结】　　求平面法向量的步骤 (1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z). (2)选向量:在平面内选取两个不共线的向量,. (3)列方程组:由列出方程组. (4)解方程组 (5)赋非零值:取x,y,z的其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论:得到平面的一个法向量. 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求出平面ABC的一个法向量. 【随堂检测】 1.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　). A.(1,2,4) B.(1,4,2) C.(2,1,4) D.(4,2,1) 2.已知平面α过点A(1,-1,2),其法向量n=(2,-1,2),则下列各点在平面α内的是(　　). A.(2