2024年中考数学重难题型研究（山西卷）题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（十）二次函数中相似三角形的存在性问题

2024年中考数学重难题型研究（山西卷） 题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（十） 二次函数中相似三角形的存在性问题 1、 题型解读 二次函数中相似三角形的存在性问题属于开放探究题，考查学生的综合探究、几何直观和运算能力，在求解这类综合题时，需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透。这类问题主要是和动点问题结合在一起，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个重要考查。 二、解题策略 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论. ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小. ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解. 通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题． 思路总结 一个定三角形和动三角形相似： （1） 已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（用字母表示），然后把两个目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例（要注意是否有两种情况），列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。 （2） 不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是：在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标（用字母表示）后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例，若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。 即：“一找角，二求标，三验证”。 题型一 带着一组平行线寻找相似 例1-1．抛物线 经过点和点．该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线轴，分别与x轴和直线交于点 M、N． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)连接，如图1，在点P运动过程中，的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； (3)连接，过点 C作垂足为点 Q，如图2，是否存在点 P，使得与相似？ 若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 例1-2．如图，已知二次函数的图象过点，与x轴交于另一点B，且对称轴是直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)若M是OB上的一点，作交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标； (3)P是x轴上的点，过P作轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标． 针对练习1 1．二次函数的图象与轴交于，两点，点为y轴负半轴上一点，且． (1)求二次函数表达式： (2)点是线段（包含，）上的动点，过点作轴的垂线，交二次函数图象于点，交直线于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，直线与交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为． (1)求a，b的值； (2)将点A绕点C逆时针旋转至点D，试说明点D在抛物线上； (3)在（2）的条件下，平移直线交抛物线于点E，F（点E在F的左边），点G在线段上．（点E，F，G分别与点B，A，D对应），求点G的坐标． 题型二 带着一对等角寻找相似 例2-1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交点为、，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点且在上方，过点P作于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)过P作轴于E，交于F．求： ①的值； ②的最大值； (3)连接，是否存在一点P，使得与相似，若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2-2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，．        (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线经过点，交抛物线于另一点．是线段上一点，过点作直线轴交抛物线于点，且，求点的坐标； (3)，是抛物线上的动点（不与点重合），直线，分别交轴于点，，若，求证：直线经过一个定点． 针对练习2 1．如图，直线与轴、轴分别交于点、，经过、两点的抛物线与轴的负半轴上另一交点为，且． (1)求该抛物线的解析式及抛物线的顶点的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上求一点，使得的面积与的面积相等，求点的坐标； (3)若点是射线上