第13讲 空间直线、平面的平行（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 第13讲 空间直线、平面的平行（精讲） ①直线与直线平行 ②直线与平面平行的判定 ③平面与平面平行的判定 ④线面平行的性质定理及其应用（证明线线平行） ⑤面面平行的性质定理及其应用（证明线线、线面平行） 【常用结论】 1.证明线线平行的常用方法 ①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线. ②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. ③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半. ④利用平行线分线段成比例定理. ⑤利用线面平行的性质定理. ⑥利用面面平行的性质定理. ⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的. 2.证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点. ②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外 一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可. ③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥. ④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视. 3.平面与平面平行的判定方法 ①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. ②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行 于另一个平面，则这两个平面平行. ③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行， 则这两个平面平行. ④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行. ⑤利用反证法. 4.平行关系的相互转化 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转 化的，如图所示. 一、直线与直线平行 1.基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. 2.空间等角定理 ①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B' 或∠AOB+∠A'O'B'=. 题型一：直线与直线平行 解题策略 证明空间两条直线平行的方法 (1)平面几何法 三角形中位线、平行四边形的性质等. (2)定义法 用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内,二是两条直线没有公共点. 【例1】（23-24高二上·云南大理·期末）如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，结合中位线证明出结论； （2）求出底面积和高，利用锥体体积公式求出答案. 【详解】（1）连接， 因为分别为棱的中点， 所以， 因为正方体的棱长为3， 所以，， 故四边形为平行四边形， 所以，故； （2）由题意得，正方形的面积为， ，， 故， 又⊥平面，故⊥平面，三棱锥的体积为. 一、单选题 1．下列结论中正确的是（    ） ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 2．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 二、填空题 3．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是 ． 三、解答题 4．（22-23高一·全国·随堂练习）如图，在长方体中，底面是边长为a的正方形，高为，点M，N分别是和的中点．    (1)判断四边形的形状； (2)求四边形的面积． 5．（22-23高一·全国·课时练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 6．如图，四边形和四边形都是梯形，且，且，，分别为的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)四点是否共面？为什么？ 一