2.3二次函数及其性质课件-2025届高三数学一轮复习

第3节 二次函数及其性质 课标解读 1.理解二次函数的图象与性质. 2.能够利用二次函数的图象与性质解决相关问题. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:若顶点为(m,n),则f(x)=　　　　　　　　　.  (3)零点式:若两个零点为x1,x2,则f(x)=　　　　　　　　　.  a(x-m)2+n(a≠0) a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 2.二次函数的图象与性质 微思考如何求解二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[m,n]上的最值? 常用结论 1.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当b=0时f(x)为偶函数,当b≠0时f(x)为非奇非偶函数. 2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(m,n),则其图象的对称轴为直线x=m,其最值为n;若有f(m)=f(n),则其图象的对称轴为直线x= . 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.函数f(x)=sin2x+4sin x-1的最小值为-5.(　　) 2.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象不经过第一象限,则必有a<0.(　　) 3.ax2+bx+c>0的充要条件是a>0且b2-4ac<0.(　　) 4.若f(x)=a(x-m)2+n(a>0)且f(x1)>f(x2),则|x1-m|>|x2-m|.(　　) × √ × √ 题组二回源教材 5.(人教B版必修第一册3.1.2节练习B第5题改编)函数f(x)=2x2+6x,x∈[-5,3]的单调递增区间是　　　　,单调递减区间是　　　　.  6.(人教B版必修第一册140页复习题B组第4题)已知f(x)=x2+2(a-1)x+2在 (-∞,4]上是减函数,求a的取值范围. 解 依题意有-(a-1)≥4,解得a≤-3. 题组三连线高考 2 8.(2022·北京,14)设函数f(x)= 若f(x)存在最小值,则a的一个取值为　　　　　;a的最大值为　　　　　.  0 1 解析 根据题意可以用0,2作为a的取值的分界点,研究函数f(x)的性质.当a<0时,f(x)=-ax+1,x<a,该函数的值域为(-∞,-a2+1),故整个函数没有最小值;当a=0时,f(x)=-ax+1=1,x<0,该函数的值域为{1},而函数f(x)=(x-2)2,x≥0的值域为[0,+∞),即存在最小值为0,故a的一个取值可以为0;当0<a≤2时,f(x)=-ax+1,x<a,该段函数的值域为(-a2+1,+∞),而函数f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[0,+∞),若存在最小值,则需满足-a2+1≥0,于是结合0<a≤2可得0<a≤1;当a>2时,f(x)=-ax+1,x<a,该段函数的值域为(-a2+1,+∞),而函数f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[(a-2)2,+∞),若存在最小值,则满足-a2+1≥(a-2)2,此时无解. 综上,a的取值范围为[0,1],故a的最大值为1. 2 研考点 精准突破 考点一二次函数的解析式 例1(1)(2024·山东潍坊检测)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,1),且过(2,2)点,则该二次函数的解析式为(　　) A.y=x2-1 B.y=-(x-1)2+1 C.y=(x-1)2+1 D.y=(x-1)2-1 C 解析 由顶点坐标可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+1,将点(2,2)的坐标代入函数解析式得a+1=2,解得a=1,所以二次函数解析式为y=(x-1)2+1,故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)已知二次函数f(x)的图象经过三点A(-1,6),B(1,0),C(2,-9),则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  f(x)=-2x2-3x+5 考点一 考点二 考点三 (3)(2024·山西太原模拟)已知二次函数f(x)的两个零点分别是1和5,图象开口向上,且f(x)在区间[-1,4]上的最大值为18,则函数f(x)的解析式 为　　　 　　　　　.  考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点二二次函数的图象 例2(多选题)(2024·浙江湖州检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)图象的对称轴为直线x=1,其图象如上图所示,则下列选项正确的有 (　　) A.|abc|+abc=0 B.4a+2b+c<0 C.当x∈[a,1-a]时,f(x)≤c-a2 AD 考点一 考点二 考点三