2.2基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习

第2节 基本不等式 课标解读 1.掌握基本不等式 (a,b>0). 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 (1)基本不等式成立的条件:　　　　　　　.  (2)等号成立的条件:当且仅当　　　　时,等号成立.  (3)其中　　　　称为正数a,b的算术平均数,　　　称为正数a,b的几何平均数.  也叫均值不等式 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 a>0,b>0 a=b 微点拨可借助平面图形中线段长度的关系直观表示基本不等式: 2.基本不等式的变形及重要不等式 (1)a2+b2≥　　　(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.  (2)a+b≥ (a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立. (3)ab≤( )2(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立. 当两个正数的积为定值时,用来求它们和的最小值 当两个实数的和为定值时,用来求它们积的最大值 2ab 3.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0. (1)如果积xy等于定值P,那么当　　　　　时,和x+y有最小值　　　　(简记:积定和最小).  (2)如果和x+y等于定值S,那么当　　　　时,积xy有最大值　　　　(简记:和定积最大).  微点拨应用基本不等式求最值时,要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某个条件,就有可能导致错误. x=y x=y 常用结论 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) × × × √ 题组二回源教材 5.(人教B版必修第一册2.2.4节例4改编)已知x∈(-1,3),则y=(1+x)(3-x)的最大值为　　　　.  6.(人教A版必修第一册2.2节练习第5题改编)已知直角三角形的面积等于50 cm2,当两条直角边的长度分别为　　　　、　　　　时,两条直角边的和最小,且最小值为　　　　.  4 解析 由基本不等式得y=(1+x)(3-x)≤( )2=4,当且仅当1+x=3-x,即x=1时,等号成立,所以y的最大值为4. 10 10 20 题组三连线高考 7.(多选题)(2022·新高考Ⅱ,12)若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 BC 8.(2021·天津,13)若a>0,b>0,则 +b的最小值为　　　　.  2 研考点 精准突破 考点一利用基本不等式求最值(多考向探究预测) 考向1直接运用基本不等式求最值 例1(1)(2024·上海宝山检测)若实数x,y满足x+2y=1,则2x+4y的最小值为　　　　.  考点一 考点二 考点三 1 考点一 考点二 考点三 (3)(2024·河南洛阳模拟)已知x>0,y>0,且 =4,则xy的最大值是　　　　.  4 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考向2通过配凑利用基本不等式求最值 例2(1)(2024·贵州贵阳模拟)若x>0,则x+ 的最小值为　　　　.  3 考点一 考点二 考点三 (2)(2024·山东潍坊检测)若正实数a,b满足2a+3b=1,则ab的最大值是　　　　.  考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2024·陕西榆林模拟)若a>1,则 的最小值为　　　　.  7 考点一 考点二 考点三 (2)已知0<x<2,则 的最大值为　　　　.  2 考点一 考点二 考点三 考向3通过常数代换利用基本不等式求最值 例3(2024·辽宁沈阳模拟)已知正实数x,y满足 =1,则2x+y的最小值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.9 C 考点一 考点二 考点三 变式探究1 (变结论)本例中,若条件不变,试求xy的最小值为　　　　.   8 考点一 考点二 考点三 变式探究2 (变条件)本例中,若将条件改为“x+2y=4xy”,试求2x+y的最小值为　　　.  考点一 考点二 考点三 变式探究3 (变结论)若本例条件不变,试求2xy-2x-y的最小值为　　　　.  8 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考向4通过构建不等式利用基本不等式求最值 例4(多选题)(2024·河南濮阳模拟)已知a,b为正实数,且ab+a+b=8,则下列说法正确的是(