第1章数列 章末小结 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第1章 数列 第1章章末小结 1 知识导图 2 3 已知 求 例1 已知数列 的前 项和 , ,其中 ,求数列 的 前 项和. 方法指导 由数列 的前 项和 ,先分两步求得数列 的通项公式,再根据 求得数列 的通项公式,并判断其类型再求和. 题型探究 4 [解析] 设数列 的前 项和为 , 当 时, ; 当 时, . 经检验, 也符合上式, 又 , , , 数列 是以5为首项, 为公比的等比数列, . 5 小结 注意由 求 时,分两步完成后要判断 是否符合当 时的式子,若符合,则可统一为一个式子,若不符合,则需要分段写出. 6 &2& 等差、等比数列的性质 例2(1) 设数列 为等差数列,其前 项和为 ,已知 , ,若对任意 都有 成立,则 的值为( ). C A.22 B.21 C.20 D.19 [解析] 因为 , ,所以 , ,所以数列 是以首项为39,公差为 的等差数列.对任意 都有 成立,则 为 数列 的最大项,而在数列 中, , ,故 为数列 的 最大项. 7 (2)已知公比为 的等比数列 的各项都是正数,且 ,则 ( ). B A.4 B.5 C.6 D.7 [解析] 因为数列 是公比为 的等比数列, , 所以 . 又因为 , 所以 , 所以 . 故 . 8 方法指导 利用等差、等比数列的性质进行运算. 小结 (1)等差数列中利用等差中项将已知等式化简求出基本量,注意由 判断出使得 取最大值时的项数.(2)设 为等比数列, , , , ,若 ,则 , .利用等比数列的性质解题时要充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题. 9 &3& 裂项相消法求和 例3 (2022年新高考全国 卷)记 为数列 的前 项和,已知 , 是 公差为 的等差数列. 10 (1)求 的通项公式. [解析] , , , 又 是公差为 的等差数列, , , 当 时, , , 整理得 , 即 , 11 , 显然对于 也成立, 的通项公式为 (2)证明: . [解析] , . 13 小结 本题考查数列的递推关系式、数列的通项公式的求法、数列的求和以及裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力.先利用前 项和求出 与 之间的关系,再利用递推关系求出 的表达式是本题的解题关键. 14 &4& 等差数列、等比数列的证明 例4 (2021年全国甲卷)已知数列 的各项均为正数,记 为 的前 项和, 从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①数列 是等差数列;②数列 是等差数列; . 方法指导 首先确定条件和结论,然后结合等差数列的通项公式和前 项和公式证 明结论即可. 15 [解析] 若选择①③为条件,则②为结论. 证明如下: 设数列 的公差为 , 由题意可得 , , 数列 的前 项和 , 故 , 数列{ }是等差数列. 16 若选择①②为条件,则③为结论. 证明如下: 设数列 的公差为 , 则 , , , 数列{ }为等差数列, ,即 ,整理得 , . 17 若选择②③为条件,则①为结论. 证明如下: , , 则数列{ }的公差 , 数列{ }的通项公式为 , 当 时, , 当 时上式也成立, 数列 的通项公式为 , 由 ,可知数列 是等差数列. 18 小结 本题主要考查等差数列的判定与证明、等差数列的通项公式、等差数列的 前 项和公式等知识,提升学生逻辑推理和数学运算的核心素养.证明数列是等差数列 的主要方法: (1)定义法:对于 的任意自然数,验证 为同一常数. (2)等差中项法:验证 都成立. (3)通项公式: ( , 为常数) 是等差数列. (4)前 项和公式: ( , 为常数) 是等差数列. 问题的最终判定还是利用等差数列的定义. 19 &5& 错位相减法求和 例5 (2020年全国 卷)设 是公比不为1的等比数列, 为 , 的等差中项. (1)求 的公比; [解析] 设数列 的公比为 , 为 , 的等差中项, , , , , . 20 (2)若 ,求数列 的前 项和. [解析] 设数列 的前 项和为 , , , , , ① , ② 由 得, , . 21 方法指导 (1)由已知条件结合等差中项的性质,建立关于公比 的方程,求解 即可得出结论; (2)由(1)结合条件得出 的通项公式,根据 的通项公式特征运用错 位相减法,即可求出结论. 小结 本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质以及错位相减法 求和.如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的, 那么这个数列的前 项和可用错位相减法求解.本题考查了数学运算和逻辑推理的核心 素养. 22 &6& 分组求和法 例6 (2021年新高考全国 卷)已知数列 满足 , 23 (1)记 ,写