1.3.2 等比数列与指数函数 课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第1章 数列 1.3 等比数列 1 1.3.2 等比数列与指数函数 2 1.通过函数的引入提高学生运用等比数列解决问题的能力.（逻辑推理） 2.理解等比数列与指数函数之间的联系.（数学建模） 3.会用指数函数的知识解决等比数列的单调性问题.（数学运算） 4.熟练掌握等比数列的判定方法.（逻辑推理） 学习目标 3 1.设等比数列 的首项为 ，公比为 ，当 与 分别满足什么条件时， 是递 增数列、递减数列？ [答案] （1） 或 为递增数列; （2） 或 为递减数列. 2.如果数列 是各项都为正数的等比数列，那么数列{ 也是等比数列吗？ [答案] 不是等比数列，是等差数列. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若 ， 都是等比数列，则 是等比数列．( ) × （2）若数列 的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则 是等比数 列．( ) × 5 2.已知等比数列 满足 ， ，则 ( ). C A.2 B.1 C. D. 6 [解析] （法一） ， 的等比中项为 ， ， 又 ， ，即 ，解得 . 又 ， ， . （法二） ， ， 将 代入上式并整理，得 ， 解得 ， . 7 3.在公比为 的等比数列 中依次取相邻两项的乘积组成新的数列 ， ， ， ，则此数列是( ). B A.公比为 的等比数列 B.公比为 的等比数列 C.公比为 的等比数列 D.不一定是等比数列 [解析] ， 且 ， 是以 为公比的等比数列，故选B． 8 4.已知等比数列 的公比为 ，首项 ，则“ ”是“等比数列 为递减数 列”的( ). B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9 [解析] 若 ，则等比数列 为摆动数列，由于等比数列 为递减数列，故 . 若 ，则 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ，等比数列 为递减数列 ， 所以若 ，则“ ”是“等比数列 为递减数列”的必要不充分条件. 10 探究1 等比数列与指数函数的关系 已知在等比数列 中， ， . 问题1: 求数列 的通项公式. [答案] 设公比为 ，则有 解得 所以数列 的通项公式是 . 合作探究 11 问题2: 画出数列 的图象. [答案] 数列 的图象如图所示. 问题3: 判断数列 的单调性. [答案] 由图可知该数列是单调递减数列. 12 新知生成 1.等比数列 的图象 由指数函数 的图象可以得出 （ 为常数）的图象，而 的图象上横坐标为正整数 的孤立点 组成等比数列 的图象. 值得指出的是，当等比数列的公比 时，等比数列的各项都为常数 ，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点. 13 2.等比数列的单调性 当 时， 若 ，则等比数列 是递增数列； 若 ，则等比数列 是递减数列. 当 时，等比数列 是非零的常数列. 当 时， 若 ，则等比数列 是递减数列； 若 ，则等比数列 是递增数列. 当 时，等比数列 是摆动数列. 14 新知运用 例1 已知等比数列 是递增数列，若 ， ，则公比 为 ( ). D A. B.2 C. 或 D.2或 15 [解析] 因为等比数列 是递增数列，则数列 的公比 满足 且 ， 所以 ，即 ，解得 或 . 若 ，则 ，解得 ， 此时 ，所以数列 为递增数列，符合题意； 若 ，则 ，解得 ， 此时 ，所以数列 为递增数列，符合题意. 综上所述， 或 .故选D. 16 &1& 涉及求公比的问题，先由已知条件得出关于实数 的等式，解出 的值，进一步求出 的值和数列 的通项公式，最后对数列 的单调性进行验证，由此可得出结果. 17 已知数列 满足： ， ； ， （ 为 常数）； ，使得 恒成立.则满足上述条件的一个数列 的通项公 式为 _____________________. <m></m> （答案不唯一） [解析] 由①②知，数列 是递增的等比数列，所以 或 由③知， ，使得 ，显然 不符合题意，故 所以 满足题意. 18 探究2 等比数列的判定与证明 问题1： 利用等比数列的定义证明数列为等比数列的关键是什么？ [答案] 关键是能够证明 是一个非零常数. 问题2： 在数列 中，若 ，则数列 是等比数列吗？ [答案]