7.3平面向量的数量积课件-2025届高三数学一轮复习

第3节 平面向量的数量积 课标解读 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 3.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角. 4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.平面向量数量积的概念 (1)向量的夹角 其中夹角为0时两向量同向共线,夹角为π时两向量反向共线 非零 a⊥b 误区警示 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示, (2)平面向量的数量积 已知两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,我们把数量　　 　　叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.  两个向量的数量积是一个实数,不再是向量 数量积是一个实数,可正可负可0 规定:零向量与任一向量的数量积为　　　　.  |a||b|cos θ 0 微思考两个向量的数量积大于0(或小于0),则夹角一定为锐角(或钝角)吗? 提示 不一定.当两个向量的夹角为0(或π)时,数量积也大于0(或小于0). (3)投影向量 2.平面向量数量积的性质及坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 3.向量数量积的运算律 交换律 a·b=b·a 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 数乘结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数) 微点拨向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c. 常用结论 1.平面向量数量积运算的常用公式: (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (2)(a±b)2=a2±2a·b+b2. 2.有关向量夹角的两个结论: (1)a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立). (2)a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立). 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 4.两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　) × × × √ 题组二回源教材 5.(人教A版必修第二册23页习题6.2第11(2)题改编)已知|a|=2,|b|=5,且a·b=-3,则|a+b|=　　　　.  6.(人教A版必修第二册6.2.4节例10)设|a|=12,|b|=9,a·b= ,求a与b的夹角θ. 7.(人教A版必修第二册6.2.4节例12)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b). 解 (a+2b)·(a-3b)=a·a-3a·b+2b·a-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos θ-6|b|2 =62-6×4×cos 60°-6×42=-72. 题组三连线高考 8.(2023·全国甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos<a+b,a-b>=(　　) B 解析 ∵a=(3,1),b=(2,2),∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1).则有cos<a+b,a-b> 9.(2022·全国乙,文3)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 D 10.(2021·全国乙,理14)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=　　　　　.  解析 由已知得,a-λb=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b,得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,即15-25λ=0,解得λ= 2 研考点 精准突破 考点一 平面向量数量积的运算 例1(2023·全国乙,文6)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则 B 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练1](1)(2024·陕西咸阳模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,c=2a+b,且a,b夹角为120°,则a·c=(　　) A.0 B.1 C. D.2 B 解析 由向量a,b满足|a|=1,|b|=2,c=2a+b,且a,b夹角为120°,可得a·c=a·(2a+b)=2a2+a·b=2×12+1×2×cos 120°=2-1=1. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2024·辽宁教研联盟模拟)设M,N是圆O上两点,若MN=2,则 =(　　)