第1章导数及其应用章末小结学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第1章章末小结 【知识导图】 【题型探究】 题型1 导数的运算问题 例1　求下列函数的导数. (1)y=+; (2)y=xsincos; (3)y=. 方法指导　利用导数公式、导数的四则运算以及复合函数的求导法则求解即可. 小结　函数求导时要注意:(1)求导之前,应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度;(2)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导. 题型2 导数的几何意义 例2　(1)(2021年全国甲卷)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　.  (2)(2022年新高考全国Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　.  【答案】　(1)5x-y+2=0　(2)(-∞,-4)∪(0,+∞) 小结　导数几何意义的应用主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点,常见类型有两种:一种是求“在某点处的切线方程”,此点一定为切点,先求导,再求斜率,进而求出切线方程;另一种是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f'(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f'(x1)·(x0-x1).又已知y1=f(x1),由上式求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程. 题型3 利用导数研究函数的单调性 例3　已知函数f(x)=a(x-ln x)+,a∈R.讨论f(x)的单调性. 小结　函数的单调性与导数的关注点:(1)关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间;(2)已知函数在某个区间上的单调性时,转化要等价;(3)分类讨论求函数的单调区间的实质是讨论不等式的解集;(4)求参数的取值范围时常用到分离参数法. 题型4 利用导数求函数极(最)值 例4　(1)(2022年全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=(　　). A.-1 B.- C. D.1 (2)(2023年新高考全国Ⅱ卷)(多选题)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则(　　). A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 (3)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为　　　　.  小结　(1)求极值时一般需确定f'(x)=0的点和f(x)的单调性,对于常见的连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,对应的极值点必为函数的最值点.(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不做判断,只需要直接与端点的函数值比较即可. 题型5 利用导数解决函数的零点或方程根的问题 例5　(2022年全国乙卷)已知函数f(x)=ax--(a+1)ln x. (1)当a=0时,求f(x)的最大值; (2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围. 小结　与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.解题过程渗透直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 题型6 利用导数证明不等式 例6　(2022年全国甲卷)已知函数f(x)=-ln x+x-a. (1)若f(x)≥0,求a的取值范围. (2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1. 小结　利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法 (1)若f(x)与g(x)的最值易求出,可直接转化为证明f(x)min>g(x)max. (2)若f(x)与g(x)的最值不易求出,可构造函数h(x)=f(x)-g(x).若h'(x)>0,则h(x)在(a,b)上单调递增,同时h(a)≥0,即f(x)>g(x);若h'(x)<0,则h(x)在(a,b)上单调递减,同时h(b)≥0,即f(x)>g(x).本题考查了逻辑推理和数学运算的核心素养. 题型7 利用导数解决恒成立问题 例7　(2020年新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a. (1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若f(x)≥1,求a的取值范围. 小结　解决恒成立问题的方法:(1)若关于x的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立,则转化为f(x)max≤m.(2)若关于x的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立,则转化为f(x)min≥m.(3)导数是