1.3.2 函数的极值与导数 学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.3 课时2 函数的极值与导数 【学习目标】 1.了解函数极值的概念,会从几何直观的角度理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用.(数学抽象、逻辑推理、直观想象) 2.掌握函数极值的判定及求法.(逻辑推理、数学运算) 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.(数学抽象、逻辑推理) 【自主预习】 已知y=f(x),y=g(x)的图象如图所示. 1.函数f(x)在(a,x0),(x0,b)上的单调性与导数的符号有何特点? 2.观察y=f(x)的图象,在区间(a,b)内,函数值f(x0)有何特点?它是极大值吗? 3.函数值f(x0)在定义域内是最大值吗? 4.函数y=g(x)在(a,b)上有极大值、极小值吗? 5.结合教材的实例思考:函数的极大值一定大于极小值吗?在同一区间内极值点唯一吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)x=0是函数y=x3的极值点. (　　) (2)可导函数一定存在极值. (　　) (3)若f'(x0)=0,则x=x0是函数y=f(x)的极值点. (　　) (4)若x=x0是函数y=f(x)的极值点,则f'(x0)=0. (　　) 2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 3.设函数f(x)=xex,则(　　). A.x=1是f(x)的极大值点 B.x=1是f(x)的极小值点 C.x=-1是f(x)的极大值点 D.x=-1是f(x)的极小值点 4.已知函数f(x)=3x-x3+m的极大值为10,则m的值为　　　.  【合作探究】 探究1 函数的极值 在必修课程中,我们已经研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题,但函数在定义域内某一点的附近,也存在着哪一点的函数值大、哪一点的函数值小的问题,如何利用导数的知识来判断函数在某点附近的函数值的大小问题? 问题1:观察下列图形,函数y=f(x)在x=d,e,f,g,h,i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? 问题2:y=f(x)在点x=d,e处的导数值是多少? 问题3:在点x=d,e附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律? 问题4:导函数的零点是否一定是函数的极值点呢? 新知生成 1.极大值点与极大值 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0),x∈(a,b)),我们就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,此时x0称为f(x)的一个极大值点. 2.极小值点与极小值 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0),x∈(a,b)),我们就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,此时x0称为f(x)的一个极小值点. 3.极值与导数的关系 函数在极值点的导数为0,导函数的零点可能不是函数的极值点. 4.驻点 若f'(c)=0,则x=c叫作函数f(x)的驻点.对可导函数而言,极值点一定是驻点,而驻点不一定是极值点.如果一个函数在驻点的两侧单调性互异,即函数的导数在驻点的两侧变号,那么该驻点就是此函数的一个极值点. 新知运用 例1　求下列函数的驻点,并判断其是不是极值点.若是,求出对应的极值;若不是,请说明理由. (1)f(x)=x3-3x2-9x+5; (2)f(x)=x2-2ln x. 【方法总结】　　求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域,求f'(x). (2)求方程f'(x)=0的根. (3)函数的导数为0的点,顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.检测f'(x)在方程根左、右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左、右两侧不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值. 求下列函数的驻点,并判断其是不是极值点.若是,求出对应的极值;若不是,请说明理由. (1)f(x)=4x3+x2+2x+6; (2)f(x)=-2. 探究2 求含参函数的极值 例2　已知函数f(x)=x-aln x(a∈R),求函数f(x)的极值. 【方法总结】　　求解析式中含有参数的函数极值时,有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种:一是看参数是否对f'(x)的零点有影响,若有影响,则需要分类讨论;二是看f'(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关,若有关,则需要分类讨论. 已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3