2.4.1 二次函数的应用 第1课时 图形面积最大值 课件 2023-2024学年北师大版九年级数学下册

2.4二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决图形面积最大值 北师大版 ‹#› 学习目标 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点） 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点） ‹#› 导入新课 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （1）y=x2-4x-5; (2)y=-x2-3x+4. 解：（1）开口方向：向上； 对称轴：x=2； 顶点坐标：（2，-9）； （2）开口方向：向下； 对称轴：x= ； 顶点坐标：（ ， ）； ‹#› 导入新课 想一想：如何求出二次函数 y = ax² + bx + c 的最小（大）值？ 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 ‹#› 典例分析 典例分析——求二次函数的最大(或最小)值 1、 写出下列抛物线的最值. （1）y=x2-4x-5; 解：(1)∵a=1＞0， 对称轴为x=2, 顶点坐标为（2，-9）, ∴当x=2时， y取最小值，最小值为-9; (2)y=-x2-3x+4. (2)∵a=-1＜0， 对称轴为x= , 顶点坐标为（ ， ）, ∴当x= 时， y取最大值，最大值为 ; ‹#› 典例分析——求二次函数的最大(或最小)值 例2 已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为(　　) A．3 　　B．－1 　　　C．4 　　　D．4或－1 解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2， ∴a＞0，y最小值＝ ＝ ＝2， 整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4. ∵a＞0，∴a＝4.故选C. C ‹#› 典例分析——几何图形面积的最大面积 例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 矩形面积=长×宽 30-l S=l(30-l), ‹#› 典例分析——几何图形面积的最大面积 例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ 解:根据题意得 S=l(30-l), 即 S=-l2+30l (0<l<30). 因此，当 时， S有最大值 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大. 5 10 15 20 25 30 100 200 l s O ‹#› 典例分析——几何图形面积的最大面积 变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x x 60-2x 问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 问题4 如何求自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？ 问题5 如何求最值？ 最值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2. 问题1 变式1与例1有什么不同？ S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 设垂直于墙的边长为x m， ‹#› 典例分析——几何图形面积的最大面积 变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 问题1 变式2与变式1有什么异同？ 问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ 问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？ 设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x m ，则 ‹#› 典例分析——几何图形面积的最大面积 问题5 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？ 问题6 如何求最值？ 由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时， S有最大值是378. 不正确. 问题4 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18. ‹#› 方法总结 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2