素能培优（十二）解析几何减少运算量的常用技巧 课件-2025届高三数学一轮复习

素能培优(十二) 解析几何减少运算量的常用技巧 很多同学厌烦解析几何题目,是因为运算量过大.尤其在考试过程中,要想在规定时间内,保质保量地完成解题,计算能力是一个重要的因素.下面介绍四种减少计算量的技巧. 技巧一　灵活运用定义 C 解析 对直线x-2y+2=0,令y=0,解得x=-2,令x=0,解得y=1, 技巧二　设而不求,整体代换 A.3x+y+7=0 B.4x+y+6=0 C.x+y+5=0 D.2x+y+3=0 D　 技巧三　巧用“根与系数的关系”,化繁为简 例3设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点P(0,4)的动直线l与抛物线C交于A,B两点,当点F在l上时,直线l的斜率为-2. (1)求抛物线的方程; (2)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x,y). 由题可知直线的斜率存在且不为零,所以设直线l的方程为x=m(y-4). y=4. 因为直线斜率不为零,所以点D在定直线y=x上. 技巧四　巧妙“换元”减少运算量 (1)求椭圆C的方程; (2)已知直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切,若直线l与椭圆C交于M,N两点,求△OMN面积的最大值. 例1(2024·山东淄博模拟)直线x-2y+2=0经过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F,交椭圆于A,B两点,交y轴于点M,若=3,则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 故F(-2,0),M(0,1),则=(2,1).设A(x0,y0),则=(-x0,1-y0). 因为=3,则解得,则A(-). 因为点A在椭圆上,左焦点F(-2,0),右焦点F'(2,0),由2a=|AF|+|AF'| =+=, 则a=,椭圆的离心率e= 例2如图,双曲线C:=1(a>0,b>0),AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若双曲线C过A,B两点,且离心率为,则直线AB的方程为(　　) 解析 由题意,则b==a,即=1. 由圆的方程知M(-2,1). 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4,y1+y2=2. 又 两式相减得=0, 所以直线AB的斜率kAB==-2,直线AB的方程为y-1=-2(x+2),即2x+y+3=0. (2)在线段AB上取点D,满足=λ=λ,证明:点D总在定直线上. (1)解 由题可得F,则=-2,解得p=4,故抛物线的方程为y2=8x. 联立得y2-8my+32m=0.易知Δ>0,所以y1+y2=8m,y1y2=32m. 由==,得y1-4=λ(y2-4),y-y1=λ(y2-y), 所以=λ,所以y= 又x=m(y-4),所以y=,化简得xy-y2+4y-4x=0,即(x-y)(y-4)=0,所以y=x或 例4已知椭圆C的离心率为,点A,点B,点F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点,且S△ABF=1-. 解 (1)由已知得椭圆C的焦点在x轴上,设椭圆C的方程为=1(a>b>0),则A(a,0),B(0,b),F(c,0),c=由已知得e2=,所以a2=4b2,所以a=2b,则c=b.又S△ABF=|AF||OB|=(a-c)b=1-,所以(2b-b)b=1-,所以b=1,所以a=2,c=,所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)圆O的圆心坐标为(0,0),半径r=1,由直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切,得=1,故m2=1+k2. 联立得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0. 由题意可知k≠0,所以Δ=16(4k2-m2+1)=48k2>0. 设点M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=, 所以|x1-x2| = = = =, 所以|x1-x2|=,所以|MN|=|x1-x2|=,所以△OMN的面积S=|MN|×1= 令t=4k2+1,易知k≠0,则t>1,k2=,所以S=2 当t=3,|即4k2+1=3,即k=±时,S取得最大值,最大值为=1. $$