2.2 导数的概念及其几何意义 课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

导数的概念及其几何意义 高二数学 课标要求 1.通过丰富的实际背景理解导数的概念. （数学抽象） 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.（直观想象） 学习目标 1.理解导数的概念，会求函数在一点处的导数. （数学运算） 2.感受割线“逼近”切线，理解导数的几何意义.(直观想象） 学习重难点 重点：导数的概念、导数的几何意义. 难点：用运动变化的观点认识导数的几何意义. 复习引入 平均变化率 设函数当自变量，函数值的平均变化率为： 瞬时变化率 当0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，这个值就是函数点的瞬时变化率。 4 设函数y=f(x)，当自变量x从x0变为x1时，函数值y从f（x0）变到f（x1），函数值y关于x的平均变化率为 知识点1：导数的概念 在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数,通常用符号f＇(x0)表示,记作 新知探究 平均变化率的极限 例1：一条水管中流过的水量y（单位:m3）与时间x（单位:s）的函数关系为y= f(x)=3x.求函数y= f(x)在x=2处的导数f＇(2)，并解释它的实际意义. 导数f'(2)表示当x=2 s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度.也就是说,如果水管中的水保持以x=2 s时的瞬时速度流动的话,每经过1 s,水管中流过的水量为3 m3. 解： 利用定义求导数的步骤： （1）求函数的增量：Δy=f(x0+Δx)-f(x0). （3）取极限得导数： （2）求平均变化率： 归纳总结 一差 二比 三极限 知识点2：导数的几何意义 设函数的图象是一条光滑的曲线，且函数在区间 的平均变化率为,如图2-3，它是经过和 两点的直线的斜率.这条直线称为曲线在点 的一条割线. 如图2-4，设函数的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看 出：当不同的值时，可以得到不同的割线；当0时，点沿 着曲线点,割线将绕点转动趋于直线称直线为曲线 点处的切线，或称直线和曲线在点处相切.该切线 的斜率就是函数在的导数. 知识点2：导数的几何意义 动态展示割线逼近切线的过程： 请看当点B沿着曲线逐渐向点A接近时,割线AB绕着点A逐渐转动的情况. 函数在的导数,是曲线在点 处的切线的斜率. 函数在切线的斜率反映了导数的几何意义. 抽象概括 已知函数 求：（1） （2） 解：(1) （2）由导数的几何意义知，在点（1,1）处的切线斜率 例2. 求过点 解：设切点 则 则 切线方程为 又点Q在上 将代入中， 解得 或 和 例3. 课堂小结 1.导数的定义. 2.求函数在的导数的步骤. 3.导数的几何意义： 谢 谢！ $$