9.5第2课时定点与定值问题课件-2025届高三数学一轮复习

第2课时　定点与定值问题 考点一 圆锥曲线中的定点问题(多考向探究预测) 考向1参数法求证圆锥曲线中的定点问题 A(-2,0)在C上. (1)求C的方程; (2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点. 考点一 考点二 考点一 考点二 (2)证明 根据题意,直线PQ的斜率存在,设MN的中点为T,直线PQ的方程为y=k(x+2)+3(k<0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 考点一 考点二 ∴设直线AP的方程为y-0=k1(x+2),即y=k1x+2k1.设直线AQ的方程为 y-0=k2(x+2),即y=k2x+2k2,∴M(0,2k1),N(0,2k2),T(0,k1+k2). 又y1=k(x1+2)+3,y2=k(x2+2)+3,y1=k1x1+2k1,y2=k2x2+2k2, ∴T(0,3). 综上,线段MN的中点为定点(0,3). 考点一 考点二 考点一 考点二 [对点训练1](2023·新高考Ⅱ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为 (1)求C的方程; (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与直线NA2交于P,证明:点P在定直线上. 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 综上可得,点P在定直线x=-1上. 考点一 考点二 方法二:由于直线MN与双曲线左支交于M,N两点,∴直线MN的斜率不为0. 又A1(-2,0),A2(2,0),易知x1≠-2,x2≠2,∴直线A1M,直线A2N的方程分别为 考点一 考点二 考点一 考点二 考向2由特殊到一般法解圆锥曲线中的定点问题 例2(2022·全国乙,理20)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴, 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 所以直线HN的方程为(3y1+6-x1-x2)(y-y2)=(y1-y2)(x-x2),即(3y1+6-x1-x2)(y-y2)-(y1-y2)(x-x2)=0. 将x=0,y=-2代入上式,整理得12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*) 考点一 考点二 所以直线HN过点(0,-2). 综上所述,直线HN恒过定点(0,-2). 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考点二 圆锥曲线中的定值问题(多考向探究预测) 考向1直接消参法求圆锥曲线中的定值 考点一 考点二 考点一 考点二 (2)证明 设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<x2,由已知可得A(-2,0),B(2,0),所以 考点一 考点二 Δ=(2km)2-4(1+k2)(m2-4)=4(4k2-m2+4)=4>0, 考点一 考点二 考点一 考点二 [对点训练3](2024·山东省实验中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考向2由特殊到一般法解圆锥曲线中的定值问题 例4(2024·福建泉州模拟)已知双曲线C:x2- =1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A是C的左顶点,C的离心率为2.设过F2的直线l交C的右支于P,Q两点,其中点P在第一象限. (1)求C的标准方程. (3)是否存在常数λ,使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立?若存在,求出λ的值;否则,说明理由. 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 P的坐标为(2,3),此时∠PF2A=90°. 在△PF2A中,|AF2|=3,|PF2|=3,故可得∠PAF2=45°,则存在常数λ=2,使得∠PF2A=2∠PAF2成立.当直线PQ的斜率存在时,不妨设点P的坐标为(x,y),x≠2,直线PF2的倾斜角为α,斜率为,直线PA的倾斜角为β,斜率为 kPA.则∠PF2A=π-α,∠PAF2=β.假设存在常数λ=2,使得∠PF2A=2∠PAF2成立,即π-α=2β, 考点一 考点二 故假设成立,存在常数λ=2,使得∠PF2A=2∠PAF2成立. 综上所述,存在常数λ=2,使得∠PF2A=2∠PAF2恒成立. 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 例1(2023·全国乙,理20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点 (1)解 由题意,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(-2,0), 解得 ∴椭圆的方程为=1. 联立则(4k2+9)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k=0,Δ>0恒成立 直线AP,AQ分别与y轴交于