9.5 第1课时 最值与范围问题 课件-2025届高三数学一轮复习

第1课时　最值与范围问题 考情分析:解析几何是高考的重要考点,通常是“一大三小”的命题模式.除了解答题是必考题外,一般还会有2道圆锥曲线的选择题或填空题.解答题一般放在最后两个大题的位置,有一定的难度.题目不拘泥于以椭圆为背景的主流模型,双曲线和抛物线也成为常见载体.对直观想象和数学运算的核心素养有较高的要求. 考点一 圆锥曲线中的最值问题(多考向探究预测) 考向1建立目标函数法求最值 考点一 考点二 (2)若直线l的斜率为0,则直线l与双曲线右支只有一个交点,与已知矛盾, 所以可设直线l的方程为x=ty+2. 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 [对点训练1](2024·河北石家庄模拟)已知M,N为抛物线C:y2=2px(p>0)上不同的两个点,O为坐标原点,OM⊥ON,过O作OH⊥MN于点H,且H(2,2). (1)求直线MN的方程及抛物线C的方程; (2)若直线l与直线MN关于原点对称,Q为抛物线C上一动点,求当点Q到直线l的距离最短时,点Q的坐标. 考点一 考点二 解 (1)如图,由点H(2,2),得直线OH的斜率为1,又OH⊥MN,则直线MN的斜率为-1,故直线MN的方程为y-2=-(x-2),即x+y-4=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2), 故抛物线的方程为y2=4x. 考点一 考点二 考点一 考点二 考向2构造基本不等式法求最值 考点一 考点二 因此|MA|·|BF|=|MB|·|AF|. 考点一 考点二 (2)解 由题意,直线l不垂直于x轴,若直线l与x轴重合,则直线m与直线x=-2平行,不符合题意,所以直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考点二 圆锥曲线中的范围问题(多考向探究预测) 考向1构造不等式法求范围 例3已知P是平面上的动点,且点P与F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差的绝对值 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 [对点训练3] 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M是抛物线的准线x=-2上的动点. (1)求p的值和抛物线的焦点坐标; (2)设直线l与抛物线相交于A,B两点,且MF⊥AB,AF⊥MB,求直线l在x轴上的截距b的取值范围. 考点一 考点二 解 (1)因为抛物线的准线是x=-2,所以抛物线的焦点坐标F(2,0), =2,所以p=4. (2)设M(-2,y0).不妨令点A位于第一象限内.若直线l的斜率不存在,则l:x=b(b>0). 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考向2构造函数法求范围 例4(2024·湖南雅礼中学模拟)已知P(2,0)是椭圆C: =1(a>b>0)的右顶点,过点D(1,0)且斜率为k(k<0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点(点A在x轴的上方),直线PA,PB分别与直线x=1相交于M,N两点.当点A为椭圆C的上顶点时,k=-1. (1)求椭圆C的方程; (2)若|MN|=λ,且λ∈[2,3],求实数k的取值范围. 考点一 考点二 解 (1)由题意可知a=2. (2)如图, 依题意,设直线l的方程为y=k(x-1)(k<0),A(x1,y1),B(x2,y2),易得x1<x2. 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 [对点训练4]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为点F,点M(a, )在抛物线C上. (1)若|MF|=6,求抛物线的标准方程; (2)若直线x+y=t与抛物线C交于A,B两点,点N的坐标为(1,0),且满足NA⊥NB,原点O到直线AB的距离不小于 ,求p的取值范围. 考点一 考点二 考点一 考点二 例1(2024·广东韶关模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),过点F的直线l与双曲线C的右支相交于M,N两点,点M关于y轴对称的点为P.当=0时,|MN|=. (1)求双曲线C的方程; (2)若△MNP的外心为Q,求的取值范围. 解 (1)设双曲线的半焦距为c,因为双曲线C的右焦点为F(2,0),所以c=2.因为点M和点P关于y轴对称,所以当=0时,直线l的方程为x=c.联立可得y=±,又|MN|=,所以,又c2=a2+b2,所以a=,b=1,故双曲线方程为-y2=1. 联立消去x,整理得(t2-3)y2+4ty+1=0,t2-3≠0,即t≠± Δ=16t2-4(t2-3)=12t2+12>0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),P(-x1,y1),则y1+y2=-,y1y2= x1+x2=t(y1+y2)+4=-,x1x2=t2y