9.7 抛物线 课件-2025届高三数学一轮复习

第7节 抛物线 课标解读 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程. 2.了解抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.了解抛物线的简单应用. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　　　　的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的　　　　.  (2)数学表达式:P={M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离). 微思考抛物线的定义中,为什么要强调l不经过点F? 相等 准线 提示 若直线l过点F,则到点F与到直线l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线. 2.抛物线的标准方程和简单几何性质 　取决于一次项变量(x或y)的取值范围 微点拨1.求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确选择抛物线的标准方程. 2.由y2=mx或x2=my(m≠0)求焦点坐标时,只需将x或y的系数除以4,再确定焦点位置即可. 3.抛物线的通径 过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径,它的长等于2p,通径是过焦点最短的弦.p越大,通径越大,抛物线的开口就越大;p越小,通径越小,抛物线的开口就越小. 常用结论 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为弦AB所在直线的倾斜角,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　) 2.抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(　　) 3.过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x2=-2ay(a>0)的通径长为2a.(　　) × × √ × 题组二回源教材 5.(人教A版选择性必修第一册3.3.1节例1改编)已知点(1,1)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则C的焦点到其准线的距离为(　　) B 6.(人教A版选择性必修第一册第133页练习第3题改编)若抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(　　) B 7.(人教B版选择性必修第一册第162页练习B第5题改编)已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,则点M的轨迹方程是　　　　　　　　　　.  y2=16x　 解析 因为点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,所以点M到点F(4,0)的距离与它到直线x+4=0的距离相等.即点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,直线x+4=0为准线的抛物线,抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则 =4,即p=8.所以点M的轨迹方程为y2=16x. 题组三连线高考 8.(2023·北京,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 D 解析 因为抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上,所以M到准线x=-2的距离为|MF|,又M到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4. 9.(2023·全国乙,理13)已知点A(1, )在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　　　　　.  2 研考点 精准突破 考点一 抛物线的定义及应用 例1(1)有一张长为8,宽为4的矩形纸片ABCD,按图中所示的方法进行折叠,使折叠后的点B落在边AD上,此时将B记为B'(注:图中EF为折痕,点F也可能落在边CD上).过点B'作B'T∥CD,交EF于点T,则点T的轨迹是以下哪种曲线的一部分(　　) A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线 B 考点一 考点二 考点三 解析 由于B'T∥CD,故B'T⊥AD,连接TB,由折叠关系,知|B'T|=|BT|,即动点T到直线AD的距离等于到定点B的距离.由抛物线的定义,知动点T的轨迹是以B为焦点,以AD为准线的抛物线在矩形ABCD内的部分. 考点一 考点二 考点三 (2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F是抛物线y2=4x的焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为(　　) A. B.4 C.3 D.5 B 解析 如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4. 考点一 考点二 考点三 (3)(2024·北京海淀模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A,B,线段AB的中点的横坐标为4,则AB的