9.66双曲线课件-2025届高三数学一轮复习

第6节 双曲线 课标解读 1.通过双曲线的实际背景理解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 3.掌握双曲线的简单应用. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的　　　　　　　　　等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做　　　　　　　,两焦点间的距离叫做　　　　　　　　　　.  数学表达式:P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|} 距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 微点拨1.要注意定义中的“绝对值”,若没有绝对值,当|MF1|-|MF2| =2a(0<2a<|F1F2|)时,点M的轨迹为靠近点F2的双曲线的一支;当|MF1|-|MF2| =-2a(0<2a<|F1F2|)时,点M的轨迹为靠近点F1的双曲线的一支. 2.要注意定义中2a的范围限制.若2a=|F1F2|,则点M的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线; 若2a>|F1F2|,则点M的轨迹不存在;若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程 微点拨在双曲线的标准方程中,看x2与y2的系数的正负,若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上.即“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”. 3.双曲线的几何性质 简单几何性质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴为　　　　,对称中心为　　　　  顶点 　　　 　  A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 直线 直线 离心率 离心率决定双曲线开口的大小,e越大开口越大 实虚轴 实轴长|A1A2|=　　　　　　,虚轴长|B1B2|=　　　　;实半轴长　　　　,虚半轴长　　　　  a,b,c 的关系 c2=　　　　(c>a>0,c>b>0)  坐标轴 原点 A1(-a,0),A2(a,0) 2a 2b a b a2+b2 常用结论 2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=c+a,|PF2|min=c-a,双曲线的焦点在y轴上时也成立. 3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为 ;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a. 4.设P是双曲线上异于顶点的任一点,F1,F2为其焦点,记∠F1PF2=θ,则 5.等轴双曲线 (1)定义:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. (2)性质:①a=b;②e= ;③渐近线互相垂直;④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项. 6.共轭双曲线 (1)定义:如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴,那么这两条双曲线互为共轭双曲线. (2)性质:①它们有共同的渐近线;②它们的四个焦点共圆;③它们的离心率的倒数的平方和等于1. 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　) 2.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　) × × × √ 题组二回源教材 C 6.(人教A版选择性必修第一册第121页练习第3题改编)已知方程 =1表示双曲线,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.  (-∞,-2)∪(-1,+∞)　 解析 由方程 =1表示双曲线,得(m+2)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1,所以实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(-1,+∞). 7.(人教A版选择性必修第一册习题3.2第9题)相距1 400 m的A,B两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差3 s,已知声速是340 m/s,则炮弹爆炸点所在曲 线的方程是　　　　　　　　.  解析 以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(图略),则A(-700,0),B(700,0),设M(x,y)为曲线上任一点,则||MA|-|MB||=340×3= 1 020<1 400,∴点M的轨迹为双曲线,且a=510,c=700,∴b2=c2-a2=(c+a)(c-a) =1 210×190=229 900. 题组三连线高考 8.(2023北京,12)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(