2024年九年级中考人教版数学一轮复习考点过关课件 -第17讲 锐角三角函数及其应用

第17讲　锐角三角函数及其应用 锐角三角函数的概念 特殊角的三角函数值 1　 3 解直角三角形 1.由直角三角形中的已知元素,求出其他所有未知元素的过程,叫做解直角三角形. 2.直角三角形中的边角关系(如图所示) (1)三边之间的关系:a2+b2=　 　.  (2)锐角之间的关系: ∠A+∠B=　 　.  (3)边角之间的关系: c2 90° 3.解直角三角形的一般方法 解直角三角形的应用 实际问题中的常用术语 仰角、 俯角 在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫　 　,视线在水平线下方的角叫　 　  坡度、 坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示; 坡面与水平线的夹角α叫坡角. i=tan α=　 　  方 位 角 指北或指南的方向与目标方向所成的小于90°的角.图中OA的方位角为北偏东50°角,OC的方位角为南偏西15°角 仰角 俯角 锐角三角函数的概念(易错点) C 在△ABC中,先由三角函数 cos A 求得AB,再由勾股定理求得BC,最后在△BCD中,由三角函数cos∠DBC求得BD. 解决与图形有关的三角函数求值问题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形,根据已知条件确定直角三角形的边长,再依据锐角三角函数的定义求解. D D 特殊角的三角函数值 计算: 先把各特殊角的三角函数值代入,再根据混合运算的法则进行计算即可. 105° [变式4] (2023株洲天元区模拟)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一条直线上,则 tan∠ADC= 　 　.  解直角三角形与边角关系的综合 解与锐角三角函数有关的三角形问题的注意点 (1)若所给三角形是直角三角形,直接应用直角三角形的边角关系和勾股定理求解. (2)若所给三角形是锐角三角形或钝角三角形,通常作高构造直角三角形求解. A C 解直角三角形的实际应用 (2023株洲)如图所示,在某交叉路口,一货车在道路①上点A处等候“绿灯”,一辆轿车从被山峰POQ遮挡的道路②上的点 B处由南向北行驶.已知∠POQ=30°,BC∥OQ,OC⊥OQ,AO⊥OP,线段AO的延长线交直线BC于点D. 角度1　测距离 (1)求∠COD的大小; 解:(1)∵AO⊥OP,∴∠POD=90°. ∵∠POQ=30°, ∴∠DOQ=∠POD-∠POQ=90°-30°=60°. ∵OC⊥OQ,∴∠COQ=90°. ∴∠COD=∠COQ-∠DOQ=90°-60°=30°, 即∠COD的大小为30°. 角度2　测高度 28 (1)解决解直角三角形的实际应用问题,关键是根据已知条件,准确地画出图形或根据已知图形找到包含相关的角(如仰角、俯角、方位角等)在内的直角三角形,再应用三角函数的定义或特殊角的三角函数值解题. (2)若三角形不是直角三角形,可通过添加辅助线,构造直角三角形来解决.在求解过程中常常利用方程求解,充分体现了转化思想、方程思想在解直角三角形中的应用. (1)求教学楼AB的高度; 锐角三角函数 2.(2022张家界)我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时,用 4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形,这个图被称为“弦图”,它体现了中国古代数学的成就.如图所示,已知大正方形ABCD的面积是100,小正方形EFGH的面积是4,那么tan∠ADF= 　 　.  解直角三角形的应用 角度1　仰角、俯角问题 10.2 角度2　方位角问题 角度3　坡度、坡角问题 5.(2022长沙)为了进一步改善人居环境,提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图所示,AB表示该小区一段长为20 m的斜坡,坡角∠BAD=30°,BD⊥AD于点D.为方便通行,在不改变斜坡高度的情况下,把坡角降为15°. (1)求该斜坡的高度BD; (2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离(假设图中C,A,D三点共线). 解:(2)∵∠BAD=30°,∠BCA=15°, ∴∠CBA=15°.∴AC=AB=20 m. 答:斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20 m. 角度4　其他方面的应用 6.(2022娄底)“体育承载着国家强盛,民族振兴的梦想”.墩墩使用握力器(如实物图所示)锻炼手部肌肉.如图所示,握力器弹簧的一端固定在点P处,在无外力作用下,弹簧的长度为3 cm,即PQ=3 cm.开始训练时,将弹簧的端点Q调在点B处,此时弹簧长PB=4 cm,弹力大小是100 N,经过一段时间的锻炼后,他手部的力量大大提高,需增加训练强度,于是