上海市复旦大学附属中学浦东分校2023-2024学年高三下学期周测数学试卷3

2023-2024学年上海市复旦大学附属中学浦东分校高三年级下学期 周测数学试卷3 2024.3 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.已知，为实数）．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是______. 2.已知向量与的夹角为，则______. 3.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数称为狄利克雷函数，则狄利克雷函数的值域为______. 4.若的二项展开式的第3项的系数为，则实数的值为______. 5.若，则______. 6.函数在区间上单调递减，则的取值范围是______. 7.已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是______. 8.甲、乙两选手进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若比赛采用3局2胜制（即先胜两局者获胜），则乙获胜的概率是______. 9.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积为______. 10.已知函数，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为______. 11.设锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围是______. 12.已知是公差不为0的无穷等差数列．若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质.若，求具有性质的数列的个数______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是　　 A．在处取得极大值 B．是函数的极值点 C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减 14.有一组互不相等的样本数据，，，，平均数为，若随机删去其中一个数据，得到一组新数据，记为，，，，平均数为，则下列说法错误的是　　 A．新数据的极差可能等于原数据的极差 B．新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C．若，则新数据的方差一定大于原数据方差 D．若，则新数据的分位数一定大于原数据的分位数 15.设复数的共轭复数是，且，又复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时在复平面上以，，三点为顶点的图形是　　 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 16.已知函数，则　　 A．函数是周期函数 B．函数的图象只有一个中心对称点 C．函数的单调减区间为 D．曲线只有一条过点的切线 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，、分别是、的中点 （1）求证：平面 （2）设，求二面角的大小． 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在中，角的对边分别为，已知 （1）求 （2）已知的面积为，点满足，求和的值 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． （1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值． 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点． （1）求△的周长； （2）在轴上任取一点，直线与直线相交于点，求的最小值； （3）设点在椭圆上，记与的面积分别为、，若，求点的坐标． 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知函数，，其中，且． （1）讨论的单调性； （2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有； （3）若关于的方程为实数）有两个正实数根，，求证：． 第1页(共5页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-20