素能培优(十)几何法求线面角二面角及距离课件-2025届高三数学一轮复习

素能培优(十) 几何法求线面角、二面角及距离 利用几何法求线面角、二面角及距离问题常应用于一些不易建系的几何体,或者题目条件用几何法比较简单快捷的情况.相对于向量法,几何法运算简单,不易出错.其难点在于准确找出所求的角或距离. 考点一 几何法求线面角 例1(2022·全国甲,理7)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则(　　) A.AB=2AD B.AB与平面AB1C1D所成的角为30° C.AC=CB1 D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45° D 考点一 考点二 考点三 解析 连接BD.B1D与平面ABCD所成的角为∠B1DB,B1D与平面AA1B1B所成的角为∠DB1A,则∠B1DB=∠DB1A=30°,设B1D=2,则AD=B1B=1.由 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练1] (2024·河北邢台模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长都相等,侧棱AA1⊥底面ABC,则直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为(　　) A 考点一 考点二 考点三 解析 取BC的中点O,连接AO,B1O,易得BC⊥AO.因为侧棱AA1⊥底面ABC,AA1∥BB1,所以BB1⊥底面ABC,又AO⊂底面ABC,所以BB1⊥AO.因为BB1∩BC=B,BB1,BC⊂平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1,所以所求直线与平面所成的角为∠AB1O.由AO⊥平面BCC1B1,B1O⊂平面BCC1B1,可得AO⊥B1O.因为所有的棱长都相等,不妨设棱长为2, 考点一 考点二 考点三 考点二 几何法求二面角 D 考点一 考点二 考点三 解析 因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又四边形ABCD为正方形,则AD=AB,从而可得PD=PB,即三角形PBD为等腰三角形.取BD的中点O,则PO⊥BD,AO⊥BD.又PO⊂平面PAO,AO⊂平面PAO,AO∩PO=O,则BD⊥平面PAO,即∠POA为二面角A-BD-P的平面角.又PA⊥平面ABCD,AO⊂平面ABCD,则PA⊥AO.因为AB=2, 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练2] (2024·河北石家庄模拟)如图是某纪念馆陈列的呈正四棱台的木盒子,它是以前计量粮食用的斗,其四周和底部五面合围,上部开口的中间有一斗柄,作为手提之用.纪念馆测得该正四棱台下底面边长为38厘米,上底面边长为32厘米,侧棱长为23厘米.则斗的侧面与底面夹角的余弦值为(　　) A 考点一 考点二 考点三 解析 如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中, 设上、下底面的中心分别为O1,O, 设B1C1,BC的中点分别为E,H,连接EH,O1E,OH,OO1,作EF⊥OH,垂足为F.由于侧面BB1C1C为等腰梯形,故EH⊥BC.而OH⊥BC,则∠EHF即为平面BB1C1C与底面ABCD所成二面角的平面角,∠EHF即为斗的侧面与底面的夹角.由题意可知O1E=16,OH=19,所以FH=19-16=3.在等腰梯形BCC1B1 考点一 考点二 考点三 考点三 几何法求距离(多考向探究预测) 考向1点线距 例3如图,在四棱锥P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,PB=AB=2BC=4,AB⊥BC,则点C到直线PA的距离为(　　) A 考点一 考点二 考点三 解析 如图,取PA的中点M,连接BM,CM.因为PB⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PB⊥BC,又因为AB⊥BC,PB∩AB=B,所以AB⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又PA⊂平面PAB,所以BC⊥PA,因为M是PA的中点,PB=AB,所以BM⊥PA,又BC⊥PA,BM∩BC=B,BM,BC⊂平面BCM,所以PA⊥平面BCM,又CM⊂平面BCM,所以CM⊥PA,即线段CM为点C到直线 考点一 考点二 考点三 考向2点面距 例4如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱DD1的中点,则点A到平面A1B1E的距离为(　　) C　 考点一 考点二 考点三 解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面AA1D1D,而A1B1⊂平面A1B1E,则平面A1B1E⊥平面AA1D1D. 在平面AA1D1D内,过点A作AF⊥A1E于点F,连接AE,如图.因为平面A1B1E∩平面AA1D1D=A1E,AF⊂平面AA1D1D,所以AF⊥平面A1B1E,则AF的长即为点A到平面A1B1E的距离.因为点E为棱DD1的中点,在△AA1E中, 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](1)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,