2024年九年级中考人教版数学一轮复习考点过关课第11讲 反比例函数

第11讲　反比例函数 反比例函数的概念 概念 一般地,形如　 　(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是x≠0  形式 y=　 　,或xy=k,或y=　 　(k≠0)  kx-1 反比例函数的图象和性质(常考点) 2.反比例函数的性质 双曲线 所在象限 第　 　象限  (xy>0) 第　 　象限  (xy<0) 增减性 在每一象限内,y随x的增大而 　   在每一象限内,y随x的增大而　   对称性 轴对称性:关于直线y=x或y=-x对称; 中心对称性:关于原点中心对称 一、三 二、四 减小 增大 3.k的几何含义 4.常见的与反比例函数有关的图形面积 |k| 2|k| 反比例函数解析式的确定与实际应用 待定系数 2.用反比例函数解决实际问题的一般方法 (1)根据实际问题建立反比例函数模型; (2)利用待定系数法或其他公式与数量关系确定函数解析式; (3)根据反比例函数的图象与性质解决实际问题. 3.实际问题中常见的反比例函数关系 反比例函数的图象和性质(易错点) A.y1<y2 B.y1=y2 C.y1>y2 D.无法确定 C 比较反比例函数的函数值大小的方法 (1)在同一象限内的点可以通过比较横坐标的大小来判断函数值的大小; (2)在不同象限内的点,依据与x轴的相对位置来进行函数值大小的比较; (3)根据题目的特点,可以选择性质法、数形结合法或特殊值法等方法. B A.m>-2 B.m<-2 C.m>2 D.m<2 B A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3 C.x2<x3<x1 D.x3<x2<x1 与反比例函数有关的面积问题(常考点) (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)求△ABC的面积. 比例系数k的几何意义的应用 (1)根据解析式确定图形的面积; (2)根据图形的面积确定k的值或解析式,确定k的值时,要注意选取合适的矩形或三角形,对于不能直接求得的图形面积,往往可割补为方便计算的三角形面积,再进行相关转化,同时要注意由函数图象的位置确定k的 符号. B (1)求点A的横坐标; (2)记四边形APQB的面积为S,若点B的横坐标为2,试用含k的代数式表示S. 反比例函数解析式的确定及综合应用 (1)求该反比例函数的解析式及m的值; (2)判断点B是否在该反比例函数的图象上,并说明理由. 求反比例函数解析式的方法 (1)根据图象特征求出某个点的坐标,然后用待定系数法求反比例函数解析式; (2)由k的几何意义直接得反比例函数解析式. (1)求反比例函数的解析式; (2)点D在第一象限,且以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,求出点D的坐标. 杠杆原理在生活中被广泛应用(杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂).小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”[如图(1)所示].制作方法如下: 第一步:在一根细木杆上标上均匀的刻度(单位长度为1 cm),确定支点O,并用细麻绳固定,在支点O左侧2 cm的A处固定一个金属吊钩,作为秤钩; 第二步:取一个质量为0.5 kg的金属物体作为秤砣. 反比例函数的实际应用 图(1) (1)图(1)中,把重物挂在秤钩上,秤砣挂在支点O右侧的B处,秤杆平衡,就能称得重物的质量.当重物的质量变化时,OB的长度随之变化.设重物的质量为x kg,OB的长为 y cm.写出y关于x的函数解析式;若0<y<48,求x的取值范围. (1)根据阻力×阻力臂=动力×动力臂解答即可; 解:(1)∵阻力×阻力臂=动力×动力臂, ∴2x=0.5y,∴y=4x. ∵4>0,∴y随x的增大而增大. ∵当y=0时,x=0;当y=48时,x=12,∴0<x<12. (2)调换秤砣与重物的位置,把秤砣挂在秤钩上,重物挂在支点O右侧的 B处,使秤杆平衡,如图(2)所示.设重物的质量为x kg,OB的长为y cm,写出y关于x的函数解析式,完成下表,画出该函数的图象. 图(2) x/kg … 0.25 0.5 1 2 4 … y/cm … 　  　  　  　  　  … (2)根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求出解析式,然后根据列表、描点、连线的步骤解答. (1)反比例函数的应用是指运用反比例函数的有关概念、性质去解决实际问题.通过对题目的阅读理解,抽象出实际问题中的函数关系,将文字语言转化成数学语言,再利用反比例函数的图象、性质等去解决实际问题; (2)根据实际问题求出反比例函数的解析式,作反比例函数图象时,一定要考虑自变量的取值范围;求函数解析式时,也不要忽视自变量的取值范围. [变式6] (2023长沙模