2024年九年级中考数学几何模型复习--共顶点模型

共顶点模型 破解策略 1.等边三角形共顶点 已知等边△ABC与等边△DCE,B,C,E三点共线. 如图,连接BD,AE,交于点 F,BD与AC 交于点G,AE与DC 交于点 H,连接CF,GH,则: (1)△BCD≌△ACE; (2)AE=BD; (3)∠AFB=∠DFE=60°; (4)FC平分∠BFE; (5)BF=AF+FC,EF=DF+FC; (6)△CGH 为等边三角形. 证明 (1)由已知条件可得 则△ACE≌△BCD. (2)由(1)可得AE=BD. (3)由(1)可得∠GAF=∠GBC,而∠AGF=∠BGC,所以∠DFE=∠AFB=∠ACB=60°. (4)方法一:如图,过点 C分别作BD,AE 的垂线,垂足为M,N. 由(1)知 即 所以CM=CN,故 FC平分∠BFE. 方法二:由∠CAF=∠CBF可得A,B,C,F四点共圆,所以∠BFC=∠BAC=60°. 同理可得∠CFE=∠CDE=60°. 所以 FC平分∠BFE. (5)如图,在 BD 上取点I,使得∠FCI=60°,则△CFI为等边三角形. 易证△BCI≌△ACF,所以 BI=AF,IF=CI=CF. 从而 BF=BI+IF=AF+CF. 同理可得 EF=DF+CF. (6)易证△ACH≌△BCG(ASA),所以CG=CH. 而∠GCH=60°,所以△CGH为等边三角形. 2.等腰直角三角形共顶点 已知在等腰 Rt△ACB 与等腰 Rt△DCE中,∠ACB=∠DCE=90°. 如图1,连接 BD,AE,交于点 F,连接 FC,AD,BE,则: (1)△BCD≌△ACE; (2)AE=BD; (3)AE⊥BD; (4)FC平分∠BFE; (7)如图2,G,I分别是BE,AD 上的点,①若G 是 BE 的中点,则( (反之亦然);②若IC⊥BE.则 I是AD 的中点(反之亦然)； 证明 (1)(2)(3)(4)的证明可参阅本节“1. 等边三角形共顶点”; (5)由(3)和勾股定理可得A. = (6)如图,过点 C 作CK⊥FC,与 BD交于点K,则△CFK 为等腰直角三角形. 易证△BCK≌△ACF,所以BK=AF. 从而 同理可得 (7)①如图,延长AD,GC,交于点 H,延长CG 至点K,使得( ,连接 BK. 易证∠KBG=∠CEG,BK=EC=CD. 由题意可得∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°, 所以∠ACD=∠CBE+∠CEB=∠CBG+∠GBK=∠CBK. 从而△ACD≌△CBK(SAS),所以∠CAD=∠BCK. 所以∠ACH+∠CAH=∠ACH+∠BCK=90°,故 GC⊥AD. ②如图,延长 IC 交BE 于点J,分别过点 A,D 作直线CI 的垂线,垂足为 M,N. 由弦图模型可得△AMC≌△CJB,△DNC≌△CJE. 所以AM=CJ=DN,故有△AMI≌△DNI, 所以AI=DI,即得证. (8)在(7)的证明过程中可得到S△ACD=S△BE;t也可以用下面的方法来证明. 如图,过点 D 作 DP⊥AC 于点 P,过点 E 作EQ⊥BC,与 BC的延长线交于点 Q. 易证△DPC≌△EQC(AAS),所以DP=EQ. 所以 即S△ACD=S△BCE. 3.等腰三角形共顶点 已知在等腰△ACB与等腰△DCE中,CA=CB,CD=CE,且∠ACB=∠DCE. 如图,连接BD,AE,交于点 F,则: (1)△BCD≌△ACE; (2)AE=BD; (3)∠AFB=∠ACB; (4)FC平分∠BFE. 4.相似三角形共顶点 已知在△ACB和△ECD中, 如图,连接BD,AE,交于点 F,则: (1)△BCD∽△ACE; (2)∠AFB=∠ACB. 证明 (1)由已知条件可得 所以△ACE∽△BCD. (2)令 AC与BD 交于点G,则∠AGF=∠BGC. 由(1)可得∠CAF=∠CBF,所以∠AFB=∠ACB. 例题讲解 例1如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点 A,C,E在同一直线上,AD与BE，BC 分别交于点F，M，BE与CD 交于点 N，连接 MN.下列结论中正确的是 (写出所有正确结论的序号). ①AM=BN; ②△ABF≌△DNF; ③∠FMC+∠FNC=180°; 分析 本题为两个等边三角形共顶点，利用模型的结论即可解决问题. 解答 例2 (1)【问题】如图1,在 Rt△ABC中,AB=AC,D 是 BC 边上一点(不与点 B,C重合),将线段 AD绕点 A 按逆时针方向旋转 90°得到 AE，连接 EC，则线段 BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ； (2)【探索】如图2,在 Rt△ABC 与 Rt