1.1 课时2 数列中的递推公式与性质 课件-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第1章 数列 1.1 数列的概念 1 课时2 数列中的递推公式与性质 2 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.（数学运算） 2.理解数列的单调性，会判断数列的单调性，会求简单数列的最大项.（逻辑推理、直观想象） 3.会利用数列的周期性解决简单的问题.（逻辑推理、数学建模） 学习目标 3 1.什么是数列的递推公式？ [答案] 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的递推公式. 2.由数列的递推公式能否写出数列的前几项？ [答案] 用递推公式给出一个数列，必须给出：（1）递推“基础”——数列 的第1项 （或前几项）.（2）递推关系——数列 的第 项 与它的前一项 （或前几项）之间的关系，并且这个关系可以用一个式子来表示. 自主预习 4 3.数列的递推公式与数列的通项公式有什么区别与联系？ [答案] 递推公式 通项公式 区别 表示 与它的前一项 （或前几项）之间的关系 表示 与 之间的关系 联系 （1）都是表示数列的一种方法； （2）由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 5 4.数列是特殊的函数，我们知道函数有单调递增函数，单调递减函数，那么数列有单调性吗？若有，如何判断数列的单调性？ [答案] 有些数列具有单调性，在数列 中，若 ， ，则 是递增数列；若 ， ，则 为递减数列.这也是判断数列单调性的依据. 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）有些数列可能不存在最大项.( ) √ （2）所有的数列都有递推公式.( ) × （3）所有数列都具有单调性.( ) × （4）在数列 中，若 ，则 是递减数列.( ) × 7 2.数列1， ， ， ， 的递推公式可以是( ). C A. B. C. D. [解析] 由题意可知选项C符合题意，故选C. 8 3.已知数列 的通项公式为 ，则数列 是______数列.（填“递增” 或“递减”） 递减 [解析] 因为 ，所以 ，所 以 是递减数列. 9 4.已知数列 满足 ，且 ， ，写出该数列的前5项. [解析] 由题意得 ， ， ，故该数列的前5项依次为1，2，4，8，16. 10 探究1 数列的递推关系 已知某冰雪项目看台有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位. 合作探究 11 问题1： 写出前五排的座位数. [答案] 20,22,24,26,28. 问题2： 第 排与第 排的座位数有何关系？ [答案] 第 排比第 排多2个座位. 12 问题3： 能用等式表示出第 排座位数 与第 排座位数 的关系吗？ [答案] 能. . 问题4： 仅由数列 的关系式 就能确定这个数列吗？ [答案] 不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的. 13 新知生成 数列的递推公式 如果数列 的任一项 与它的前一项 之间的关系可用一个公式来表示， 即 ， ，那么这个公式就叫作数列 的递推公式, 称为数列 的初始条件. 微点评:由递推公式和初始条件可确定数列 ，这是表示数列的又一种重要方法. 许多与数列有关的应用问题最后都归结为这种数学模型. 14 新知运用 一、利用数列的递推公式求数列的项 例1 若数列 满足 ， ， ，求 的值. 15 [解析] ， ， ， ， … 是周期为4的数列， . 16 &1& 递推公式反映的是相邻两项（或 项）之间的关系.对于通项公式，已知 的值即可得到相应的项，而对于递推公式，则要已知首项（或前几项），才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律. 17 二、利用递推公式求通项公式 例2（1） 在数列 中， ， ，则 ( ). B A. B. C. D. 18 [解析] （法一:归纳法）数列的前5项分别为 ， ， ， ， ， 由此可得数列的一个通项公式为 19 （法二:迭代法） ， ， ， ， 则 . 又 也适合上式，所以 （法三:累加法） ， ， ， ， ， … ， 以上各式相加得 , 所以 . 因为 也适合上式，所以 （2）已知数列 满足 ， ，则 ( ). D A. B. C. D. [解析] 因为数列 满足 ，所以 ， 所以