8.4.3翻折问题与探索性问题课件-2025届高三数学一轮复习

第3课时　翻折问题与探索性问题 考点一 翻折问题 例1(2024·山东烟台模拟)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=2, ∠ACB=60°,E为AB中点,过点E作ED垂直AC于D,将△ADE沿ED翻折,点A到达点P的位置,且使得平面PDE⊥平面BCDE,点M是棱PC上一点,且BM∥平面PDE. (2)求二面角M-BE-C的余弦值. 考点一 考点二 考点三 解 (1)因为平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE, 由题意可知,PD⊥DE,又PD⊂平面PDE,所以PD⊥平面BCDE, 又CD⊂平面BCDE,所以PD⊥CD. 所以∠PDC=90°. 过点B作BQ垂直CD于点Q,连接QM, 因为CD⊥DE,所以BQ∥DE,又BQ⊄平面PDE,DE⊂平面PDE,所以BQ∥平面PDE,又BM∥平面PDE,BQ∩BM=B,BQ,BM⊂平面BQM,所以平面BQM∥平面PDE,又因为平面BQM∩平面PDC=QM,平面PDE∩平面PDC=PD, 所以PD∥QM. 因为BC=2,∠DCB=60°,所以CQ=1. 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 (2)因为平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE,PD⊂平面PDE,PD⊥DE,所以PD⊥平面BCDE, 所以PD⊥DC. 又DE⊥DC,以D为坐标原点,以直线DE,DC,DP分别为 x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](2024·广东潮州模拟)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2. 图1 图2 (1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE; (2)求图2中的直线CE与平面ACG所成角的正弦值. 考点一 考点二 考点三 (1)证明 在题图2中,由题意得AD∥BE,CG∥BE, 所以AD∥CG,所以题图2中的A,C,G,D四点共面. 由已知得AB⊥BE,AB⊥BC, 又BE∩BC=B,BE,BC⊂平面BCGE, 所以AB⊥平面BCGE, 又AB⊂平面ABC, 所以平面ABC⊥平面BCGE. 考点一 考点二 考点三 (2)解 连接EC,在菱形BEGC中,因为∠EBC=60°,所以△EBC为等边三角形, 取BC的中点H,连接EH,则EH⊥BC. 因为平面ABC⊥平面BCGE,平面ABC∩平面BCGE=BC,EH⊂平面BCGE, 所以EH⊥平面ABC. 如图,以点H为坐标原点,在平面ABC中,过点H作BC的垂线为y轴,以直线BC为x轴,以直线HE为z轴,建立空间直角坐标系,则A(-1,1,0),C(1,0,0), 考点一 考点二 考点三 设平面ACG的法向量n=(x,y,z), 考点一 考点二 考点三 考点二 与空间角有关的探究性问题 例2 (2024·山东青岛模拟)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,平面BCC1B1⊥平面 (1)求四棱锥A1-BCC1B1的体积; (2)在侧棱BB1上是否存在点E,使得二面角E-AC-B的余弦值为 ?若存在,说明点E的位置;若不存在,说明理由. 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 (2)取BC的中点O,连接AO,因为AB=AC,所以AO⊥BC. 在等腰梯形BCC1B1中,O1,O分别为上、下底边B1C1,BC的中点,有OO1⊥BC,而平面BCC1B1⊥平面ABC,平面BCC1B1∩平面ABC=BC,OO1⊂平面BCC1B1,于是OO1⊥平面ABC, 所以OO1⊥OA. 以O为坐标原点,分别以直线OA,OB,OO1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练2] (2024·湖北荆门模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B是菱形,AB⊥AC,平面AA1B1B⊥平面ABC,平面A1B1C1与平面AB1C的交线为l. (1)证明:A1B⊥B1C; (2)已知∠ABB1=60°,AB=AC=2,直线l上是否存在点P,使A1B与平面ABP所成角的正弦值为 ?若存在,求B1P的长度;若不存在,说明理由. 考点一 考点二 考点三 (1)证明 因为四边形AA1B1B为菱形,所以A1B⊥AB1. 又因为平面AA1B1B⊥平面ABC,平面AA1B1B∩平面ABC=AB,AC⊂平面ABC,AC⊥AB,所以AC⊥平面AA1B1B, 又A1B⊂平面AA1B1B,所以AC⊥A1B, 又AB1∩AC=A,AC,AB1⊂平面B1AC, 所以A1B⊥平面B1AC