2024年中考人教版数学一轮复习考点过关---第7讲 一元二次方程 课件

第7讲　一元二次方程 一元二次方程的概念及其解法 1.一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式 方程. 它的一般形式是　 　(a,b,c为常数,a≠0).  ax2+bx+c=0 2.一元二次方程的解法 一次项系数一半的平方 温馨提示 一元二次方程解法口诀: 方程没有一次项,直接开方最理想. 如果缺少常数项,因式分解没商量. b,c相等都为零,等根是零不要忘. b,c同时不为零,因式分解或配方. 也可直接套公式,因题而异择良方. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 b2-4ac 有两个不相等 没有 温馨提示 代数式求值时的常见变形 (3)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2. 一元二次方程的应用 常见类型: (1)增长率问题:设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为　 　.  a(1+x)2 (2)利润问题:单件利润=单价-单件成本; 总利润=单件利润×销量=总收入-总成本. (3)面积问题:对于规则图形,可直接套用面积公式列方程求解;对于不规则图形,可通过割补使其变为规则图形后,再根据面积间的和、差关系 求解. (4)循环球赛问题: 单循环:x个队的单循环赛场数=　　 ;  双循环:x个队的双循环赛场数=x(x-1). (5)数字问题:一个两位数的十位上的数字为a,个位上的数字为b,则这个两位数可表示为　 　.  10a+b 一元二次方程的解(易错点) 把x=0代入原方程,求出a的值,再结合二次项系数不等于0得出答案. -1 [变式1] (2021长沙)若关于x的方程x2-kx-12=0的一个根为3,则k的值为 　 　.  -1 一元二次方程的解法 (1)x2-2x-1=0; (2)(2023齐齐哈尔)x2-3x+2=0. [规范解答] 解: (2)(x-1)(x-2)=0,……………………8分 x1=1,x2=2.……………………………………10分 解一元二次方程的方法选择 (1)若给定的方程为x2=n或(x+m)2=n(n≥0)型,则选用直接开平方法. (2)若给定的方程(或者变形后)右边为0,左边能因式分解,则选用因式分解法. (3)若给定的方程右边为0,左边不能因式分解,则选用公式法. (4)对于二次项系数化为1后,一次项系数是偶数(即形如“x2+2kx+m=0”)的一元二次方程,采用配方法比较简单. [变式2] (2023邵阳新邵县期末)方程(x-2)2=3(x-2)的解是( ) A.x=2 B.x=3 C.x1=2,x2=3 D.x1=2,x2=5 D [变式3] (2023株洲天元区模拟)一元二次方程x2-2x+m=0配方后得(x-1)2=n,则m+n的值是　 　.  1 根的判别式及根与系数的关系 (1)利用方程根的判别式进行证明. 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0. (1)求证:无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根; (1)证明:∵Δ=[-(2k+1)]2-4(k2+k)=1>0, ∴无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根. (2)根据两根的商与系数的关系,两根的商与k都为整数,即可进行推断. 用一元二次方程的根与系数的关系求字母系数的值时,不要忽略根的判别式b2-4ac≥0(或>0)这一重要条件. [变式4] (2022长沙)关于x的一元二次方程x2+2x+t=0有两个相等的实数根,则实数t的值为　 　.  1 (1)若m=2,n=-4,求p,q的值; (2)若p=3,q=-1,求m+mn+n的值. 一元二次方程的应用 角度1　增长率(降低率)问题 (2023永州)某市2020年人均可支配收入为 2.36万元,2022年达到2.7万元,若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x,则下面所列方程正确的是( ) A.2.7(1+x)2=2.36 B.2.36(1+x)2=2.7 C.2.7(1-x)2=2.36 D.2.36(1-x)2=2.7 B [变式6] (2023长郡教育集团一模)在“双减政策”的推动下,某初级中学学生课后作业时长明显减少.2021年上学期平均每天作业时长为 100 min,经过2021年下学期和2022年上学期两次调整后,2022年下学期平均每天作业时长为70 min.设该校平均每天作业时长这两学期每学期的下降率都为x,则可列方程为( ) A.100(1-x2)=70 B.70(1+x2)=100 C.100(1-x)2=70 D.70(1+x)2=100 C 角度2　利润问题 造纸厂为节约木材,