求空间角课件-2025届高三数学一轮复习

第2课时　求空间角 考点一 异面直线所成的角 例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PD=2,点E是PC的中点. (1)求证:BC∥平面PAD; (2)求直线AC与BE所成角的余弦值. (1)证明 因为四边形ABCD为正方形,所以BC∥AD, 因为BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以BC∥平面PAD. 考点一 考点二 考点三 (2)解 因为PD⊥平面ABCD,AD,DC⊂平面ABCD, 所以PD⊥AD,PD⊥DC, 又因为四边形ABCD是正方形,所以AD⊥DC, 如图,以D为坐标原点,以直线DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(0,1,1), 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练1] (2024·江苏南京模拟)如图所示,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4,求异面直线AQ与PB所成角的正弦值. 考点一 考点二 考点三 解 由题设知,四边形ABCD是正方形,连接AC,BD,交于点O,则AC⊥BD,则OP⊥平面ABCD,OQ⊥平面ABCD,故PQ⊥平面ABCD.以O为坐标原点,以直线CA,DB,QP分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 考点一 考点二 考点三 考点二 直线与平面所成的角 例2(2023·全国甲,理18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC, ∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明:A1C=AC; (2)已知AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 考点一 考点二 考点三 (1)证明 ∵A1C⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC. ∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC. 又A1C,AC⊂平面ACC1A1, ∴BC⊥平面ACC1A1. ∵BC⊂平面BCC1B1, ∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1. 如图,过点A1作A1O⊥CC1交CC1于点O, 又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,∴A1O⊥平面BCC1B1. ∵A1到平面BCC1B1的距离为1, ∴A1O=1. 考点一 考点二 考点三 ∵A1C⊥平面ABC,AC⊂平面ABC, ∴A1C⊥AC. 又A1C1∥AC,∴A1C⊥A1C1. 又CC1=AA1=2,设CO=x,则C1O=2-x,则A1=A1O2+C1O2=1+(2-x)2, A1C2=A1O2+CO2=1+x2, 考点一 考点二 考点三 (2)解 (方法一)连接BA1.∵BC⊥A1C,BC⊥AC,∴在Rt△A1CB中有A1C2+BC2=B,在Rt△ACB中有AC2+BC2=AB2,又AC=A1C,∴AB=BA1. 过点B作BD⊥AA1交AA1于点D,则D为AA1的中点,且BB1⊥BD,则BD即为直线AA1与BB1的距离,∴BD=2. 考点一 考点二 考点三 (方法二　空间向量法)∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴A1C,AC,BC两两垂直. 如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系. 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练2] (2022·全国甲,理18)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB, AD=DC=CB=1,AB=2,DP= . (1)证明:BD⊥PA; (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值. 考点一 考点二 考点三 (1)证明 ∵PD⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PD⊥BD. 取AB的中点E,连接DE.∵CD=1,BE= AB=1,CD∥BE, ∴四边形CDEB是平行四边形,∴DE=CB=1. ∵DE= AB,∴△ABD为直角三角形,AB为斜边,∴BD⊥AD. ∵PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,且PD∩AD=D, ∴BD⊥平面PAD.又PA⊂平面PAD,∴BD⊥PA. 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点三 平面与平面的夹角 例3(12分)(2023·新高考Ⅰ,18) 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. (1)证明:B2C2∥A2D2; 突破口:注意到正四棱柱各条棱的长度,可以发现相关棱的中点或四等分点. 关键点:题目条件并未明确这两条线共面,不能直接应用. 考点一 考点二 考点三 (2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P. 关键点:建立空间直角坐标系后,根据点P的位置,