8.6.2空间直线、平面的垂直（2） 导学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《空间直线、平面的垂直（2）导学案 一、目标与任务 【学习目标】 1.通过实例直观感知、操作确认，抽象、归纳出直线与平面垂直的定义；知道点到平面的距离，直线与平面所成角的概念，会在具体情境中找出并表示. 2.通过直观感知、操作确认发现直线与平面垂直的判定定理；能在直线与平面垂直的情境中利用定义与判定定理证明直线与平面垂直，能结合直线与平面垂直的判定定理直线与平面所成角的概念在具体情境中求直线与平面所成角. 3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中“以简驭繁”的转化思想． 【学法指导】 学习本节时，需要弄懂： 1. 如何用直线与直线垂直刻画直线与平面垂直，用确切的数学语言刻画直线与平面垂直 2. 直线与平面垂直的判定定理是把定义中要求的任意一条直线垂直转化为只要求与两条相交直线垂直，由复杂向简单，无限问题向有限问题，把空间问题转化为平面问题. 二、探索新知 【环节一】探究、建构直线与平面垂直的定义 问题1 在日常生活中，我们对直线与平面有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象，那么什么叫直线与平面垂直呢？能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直？（引出课题） 探究一 ：在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC随着时间的变化. 问题2.影子的位置BC在不断变化,旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？ 问题3.旗杆AB所在直线是否与平面内所有直线垂直？ 问题4.你能用简洁的语言归纳出直线与平面垂直的定义吗？ 线面垂直的定义 一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面互相垂直， 记作.直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足. 问题5：直线与平面垂直的定义中，“任意”能否改为“无数”？即垂直于内无数条直线，是否能得到？ 探究二：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？（师生共同讨论，直观感知和操作确认） 可得到：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 点到平面的距离: 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫作这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 【环节二】探究、发现直线与平面垂直的判定定理 问题6.根据定义，判断直线与平面垂直，需要验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直.类比直线与平面平行的判定定理，有没有判断直线与平面垂直的简单、易行的方法？ 探究三：准备一块三角形的纸片，过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（与桌面接触）. （1） 折痕与桌面垂直吗？ （2） 如何翻折才能使折痕与桌面垂直？为什么？ 问题7.由上面的探究，你能得到判断直线与平面垂直的简单、易行的方法吗？ 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. 问题8. 为什么一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线与此平面垂直？ （可由基本事实的推论2得到） 线面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. 问题9.判定定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？可以改为“无数条直线”呢？ 问题10.试分别用图形语言和符号语言表示直线与平面垂直的判定定理. 符号语言： 图形语言： 由线面垂直定义可得, 总结为： 【环节三】巩固运用直线与平面垂直的判定定理 【例3】求证：如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 问题11：你能根据条件与结论画出示意图，写出已知、求证吗？ 已知：a//b, a⊥α,求证：b⊥α. 问题12：你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗？ 【环节四】直线与平面所成角及其应用 问题13：直线与平面垂直是直线与平面相交时的一种特殊情况.当它们不垂直时，如何来刻画这种情况呢？ 如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的过斜线上斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影. 规定：直线垂直于平面，它们的所成角是直角；直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是零度角. 线与面所成角的范围是：. 问题14：如图，∠为斜线与平面所成的角，为平面内的一条直线，那么 ∠与∠的大小关系如何？ 线面成角是斜线与平面内的直线所成角中的最小角。 例4.在正方体中.求直线和平面成的角； 【环节五】归纳总结 回顾反思 1.本节课学习了哪些知识？ 2. 是用怎样的方法学到这些知识的？ 三、自学检