8.6.1直线与直线垂直导学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《直线与直线垂直》 导学案 一、目标与任务 【学习目标】 （1）借助长方体，通过直观感知，理解异面直线直线成角是刻画异面直线位置关系的一个重要因素，,会求两异面直线所成的角； （2） 会用异面直线所成角的定义找出或作出异面直线所成的角，并利用异面直线的夹角为直角从而证明异面直线垂直； （3） 通过实物观察、抽象出异面直线成角的定义，培养直观想象素养；借助异面直线所成角及直线间垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养。 【学法指导】 本节是本章最后一部分内容，同学们学习的知识积累、解决问题的方法都已较为丰富，我们将类比研究研究空间直线、平面平行的研究路径，通过对典型实例的观察、试验、猜想，从而研究空间直线、平面垂直的内容。 2、 探索新知 根据前面的学习，我们知道空间中直线与直线有共面直线与异面直线两类位置关系，对于包括了平行直线和相交直线两种情况的共面直线，初中时我们已经进行了学习，本节课主要研究异面直线的问题。 【环节一】新知探究 【问题1】，如图，在正方体中，直线与直线，直线与直线都是异面直线，直线与相对于直线的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ 回顾平面几何学习时，对于两条相交直线形成4个角，其中的角称为这两条相交直线所称的角（或夹角），它刻画了平面内一条直线相对于另一条直线的倾斜程度。我们把无公共点的两条异面直线，通过平行移动使得他们相交，再利用这个相交直线的夹角来刻画两异面直线件的倾斜程度。 异面直线所成角的定义：已知异面直线a和b，经过空间中任一点O，分别作直线a，，我们把和所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.根据平面相交直线夹角的判定，我们知道异面直线所成角的范围是. 【问题2】异面直线和所成角的大小与O点的位置取在何处有关吗？ 【问题3】回顾【问题1】，直线与相对于直线的位置到底有什么不同呢？ 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线相互垂直. 直线与直线垂直，记作. 当两条直线，相互平行时，我们规定它们所成的角为，因此空间两条直线所成角. 【环节二】解法探究 【例1】如图，已知正方体. （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ （2）求直线与所成的角的大小. （3）求直线与所成的角的大小. 【小结】 （1）通过本题我们发现，空间中所说的直线与直线垂直，即包括平面几何中的相交垂直，也应包括今天我们学习的异面垂直两种情况； （2）在同一平面内成立的结论（也就是初中平面几何时研究的结论），不一定能推广到空间中来； （3）如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直. （4）求异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算. 【例2】如图，在正方体中，为底面的中心，证. 【环节三】回顾反思 通过本节课的学习，你有什么感悟？通过对例题的解决，你能利用异面直线所成角的的定义，解决相关问题了吗？其基本步骤你掌握了吗？ 三、自学检测 1. 判断下列命题的正误： （1）异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同.( ) （2）异面直线a与b所成角可以是0°.( ) （3）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.( ) 2. 如图，在正方体中， (1)AC和DD1所成的角是________； (2)AC和D1C1所成的角是________； (3)AC和B1D1所成的角是________； (4)AC和A1B所成的角是________. 3. 如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，求证：AC⊥B1D. 学科网（北京）股份有限公司 $$