专题26 定点定长(隐圆模型) -2024年中考数学二轮常见方法模型专题复习（全国通用）

专题26 定点定长(隐圆模型) 隐圆模型－－－－－定点定长 【模型讲解】 平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定， 则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上（如图①）． 依据的是圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合． 推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点（不含点B），将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的一段圆弧． 【例题1】 1．如图，已知OC＝3，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝2，BC＝4，请在平面内画出点A、B的运动轨迹． 【变式】 2．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为 ． 【变式】 3．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将沿MN所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ． 【变式】 4．如图，已知四边形ABCD是矩形，，，若，且点E在矩形ABCD的内部，求∠ABE的取值范围． 【变式】 5．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B'．当 PB＝6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB'面积的最大值． 【变式】 6．如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c. （1）求线段BG的长； （2）求证：DG平分∠EDF; （3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG. 参考答案： 1．见解析 【分析】分别以、为圆心，、为半径作圆即可得． 【详解】如解图，点的运动轨迹为，点的运动轨迹为. 【点睛】本题考查圆的定义，掌握由圆的定义进行作图是解题的关键. 2．4． 【详解】解：如图，连接OP，OC，PC，则有OP≥OC－PC． 当O、P、C三点共线时，OP=OC－PC． ∵∠APB=90°，OA=OB， ∴点P在以AB为直径的圆上， ∴⊙O与⊙C相切时，OP取到最小值． 设⊙O与⊙C的切点为P′，则OP′=OC－CP′=2， ∴此时AB=2OP′=4． 故答案为4． 3． 【分析】根据题意，在点N的运动过程中，点在以M为圆心、AD为直径的圆上的上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵、MC是定值，当在MC上时，长度取最小值， 过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点， ∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°， ∴AM=MD=MA′=1，∠FMD＝30°， ∴， ∴，CF=CD+DF= ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、锐角三角函数、折叠的性质．找到当点A′在MC上时A′C 的长度最小是本题的关键． 4． 【分析】以为圆心，为半径作弧，由此得出的取值范围． 【详解】 如图所示，以为圆心，为半径作弧， 当与相切时，最大，即最小，此时， ， ， ， 点在矩形内， ， ． 【点睛】本题考查圆的切线问题，由题作出图形是解题的关键． 5． 【分析】如图，过点作，当，，共线时，的面积最大，求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，过点P作PH⊥AC， 由题可得，在以为圆心，半径长为6的圆上运动， 当的延长线交圆于点时面积最大， 在中，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， 的最大值为． 【点睛】本题考查圆与三角形综合问题，根据题意构造出图形是解题的关键． 6．（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与D、E、F分别为三边的中点，易得BG=AC+AG，又由BG=AB－AG即可得BG=． （2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG． （3）由△BDG与△DFG相似和（2）得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥C． 【详解】（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点， ∴DEAB，DFAC． 又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG， ∴BG=AC+AG． ∵BG=AB－AG， ∴BG=． （2）证明：BG=，FG=BG－BF=， ∴FG=DF． ∴∠FDG=∠FGD． 又∵DE∥AB， ∴∠EDG=∠FGD． ∴∠FDG