专题23 四点共圆(隐圆模型)——2024年中考数学二轮常见方法模型专题复习（全国通用）

专题23 四点共圆(隐圆模型) 隐圆模型－－－四点共圆 【模型基础】 四点共圆的内涵：如果在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为四点共圆．四点共圆常见的有以下四种形式： 1.对角互补的四边形，四点共圆； 四点共圆 2.外角等于内对角的四边形，四点共圆； 四点共圆 3.同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆； 四点共圆 4.到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆． 四点共圆 【模型讲解】 如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB的中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆．即共斜边的两个直角三角形，直角顶点在斜边同侧或异侧，都可得到四点共圆．得到四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，这是证明角度相等重要的途径之一． 【例题】 1．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，O为AC的中点，过O作OE⊥OF，OE、OF分别交射线AB、BC于E、F，则EF的最小值为 ． 【变式】 2．如图，在中，，AB＝AC＝5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG＝FG时，线段长为 【变式】 3．如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（  ） A． B． C． D． 【变式】 4．如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 ．    【变式】 5．如图，已知在扇形中，，半径．P为弧上的动点，过点P作于点M，于点N，点M，N分别在半径上，连接．点D是的外心，则点D运动的路径长为 ． 【变式】 6．如图，四边形内接于，对角线，垂足为，于点，直线与直线于点． （1）若点在内，如图1，求证：和关于直线对称； （2）连接，若，且与相切，如图2，求的度数． 【变式】 7．我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（－4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)， BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形． （1）求证：ΔABC是半直角三角形； （2）求证：∠DEC=∠DEA； （3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长； （4）BC交y轴于点N，问的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由. 【变式】 8．如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）延长交于点，求证：为的中点； （3）在（2）的条件下，若的边长为1，直接写出的最大值． 参考答案： 1．5 【分析】首先过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N，易得四边形OMBN是矩形，OM∥BC，ON∥AB，又由AB=6，BC=8，O为AC的中点，可求得OM与ON的长，然后由勾股定理求得MN的长，又由垂线段最短，可得当OE与OM重合，即EF与MN重合时，EF最短，求得答案． 【详解】过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形OMBN是矩形， ∴OM∥BC，ON∥AB， ∴△AOM∽△ACB，△CON∽△CAB， ∴OM：BC=OA：AC，ON：AB=OC：AC， ∵O为AC的中点， ∴OM＝BC＝×8＝4，ON＝AB＝×6＝3， ∴MN＝＝5， 由垂线段最短，可得当OE与OM重合，即EF与MN重合时，EF最短， ∴EF的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及垂线段最短的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 2． 【分析】连接DF，EF，过点F作，，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A、D、F、E四点共圆，，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解． 【详解】解：如图，连接DF，EF，过点F作，． ∵在中，，点G是DE中点， ∴． ∵AG=FG， ∴A、D、F、E四点共圆，G点为圆心，DE为直径， ∴． ∵在中，， ∴． 又∵点F是BC中点， ∴，． ∴四边形AMFN是正方形， ∴． ∵，， ∴． ∴在和中， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，圆周角定理，四点共圆，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关