考点过关检测9：解三角形-2024届高三数学一轮复习

考点过关检测9 解三角形　 一、单项选择题 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝，c＝，B＝60°，则C＝(　　) A．30° B．60° C．150° D．30°或15° 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＋b＝2c(cos A＋cos B)，则角C的大小为(　　) A． B． C． D． 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A cos C＝sin B，4b2＝a2，则(　　) A．2c＝a B．2c＝a C．2a＝c D．2a＝c 4．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则的取值范围为(　　) A．(，) B．(，) C．(，) D． 二、多项选择题 5．[2023·江西上饶期末]若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是(　　) A．若＝，则△ABC为等腰三角形 B．若＝，则△ABC为等腰三角形 C．若a cos B－b cos A＝c，则△ABC为直角三角形 D．若cos2＝，则△ABC为直角三角形 [答题区] 题号 1 2 3 4 5 答案 三、填空题 6．[2023·河北张家口一中模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cosC＋c sin A＝0，c＝2，b＝4，则sin A＝________． 7．[2023·安徽安庆模拟]如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD垂直于BC，∠A＝30°，BD＝2AD，AC＝5，则△ABC的面积为________. 四、解答题 8．[2022·新高考Ⅱ卷]记△ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. (1)求△ABC的面积； (2)若sin A sin C＝，求b. 9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC为钝角，且2AC·sin ∠BAC＝BC. (1)求∠ABC的大小； (2)AB＝2，AC＝2，BD平分∠ABC，且△BCD的面积为3，求边CD的长． 10．[2023·河北深州中学模拟]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，若b＝，________．请从下面的三个条件中任选一个，两个结论中任选一个，组成一个完整的问题，并给出解答． 条件：①a sin ＝b sin A；②b sin A＝a cos (B－)；③a2＋c2－b2＝ab cos A＋a2cos B． 结论：①求△ABC的周长的取值范围；②求△ABC的面积的最大值． 参考答案 1．答案：A 解析：因为b＝，c＝，B＝60°，由正弦定理＝，即＝，解得sin C＝，因为0°<C<120°，所以C＝30°.故选A. 2．答案：B 解析：因为a＋b＝2c（cos A＋cos B），则a＋b＝2c（＋），整理得（a＋b）（c2－a2－b2＋ab）＝0，所以c2－a2－b2＋ab＝0即a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），所以C＝.故选B. 3．答案：B 解析：∵sin A cos C＝sin B，sin A≠0，∴由正弦定理得cos C＝＝，因为a2＝4b2，所以a＝2b，即cos C＝，∴c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝a2，即2c＝a.故选B. 4．答案：A 解析：△ABC为锐角三角形，故⇒⇒<A<，故cos A∈（，），进而由正弦定理可得＝＝＝＝∈（，）.故选A. 5．答案：ACD 解析：在△ABC中，正弦定理＝＝＝2R， 对于A，若＝，则根据正弦定理得：＝⇒a2＝b2⇒a＝b，即△ABC为等腰三角形，故A正确； 对于B，若＝，则根据正弦定理得：＝⇒sin A cos A＝sin B cos B⇒sin 2A＝sin 2B，∵A，B∈（0，π），A＋B∈（0，π），∴2A，2B∈（0，2π）且2A＋2B∈（0，2π），∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由射影定理得a cos B＋b cos A＝c，又a cos B－b cos A＝c，即b cos A＝0，而b≠0，则cos A＝0，A＝，△ABC为直角三角形，C正确； 对于D，cos2＝⇔＝⇔c cos A＝b，由射影定理b＝a cos C＋c cos A得，即a cos C＝0，而a≠0，则cos C＝0，C＝，△ABC为直角三角形，D正确．故选ACD. 6．答案： 解析：由a cos C＋c sin A＝0，所以sin A cos C＋