专题3 旋转中的全等对角互补模型-【浙教版】2023-2024学年八年级数学下册聚焦课本培优专题训练讲义

专题3 旋转中的全等对角互补模型 知识梳理 对角互补模型是经典的几何模型，其中会涉及到全等或相似三角形的证明、倒角的计算（八字倒角、对角互补的四边形的外角等于内角的对角、角的加减等）、线段数量关系的证明、旋转的构造等综合性较高的几何知识，无论是在校内考试、还是中考中一直都是热门考点。对角互补模型在八年级陆续就会出现，一般会和等腰直角三角形、正方形等特殊图形结合起来，既有选填压轴的题型，也经常会以解答题的题型进行考察。此时是利用构造全等进行解决问题。九年级时会利用构造相似进行解决问题。 模型.对角互补模型模型分析 1、 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 2、 常见的对角互补模型：含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、 -（）对角互补模型。 3、 解题策略：对角互补模型最常见的两种处理策略：①过顶点做双垂线，构造全等或相似三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等或相似. 4、 解题思路：在对角互补模型的应用中，我们可以利用角平分线的性质来做垂线，从而构造出全等三角形。这种方法在解决几何题时非常有用，因为它可以帮助我们找到已知条件与未知条件之间的联系，从而更快地解决问题。 模型、旋转中的对角互补模型模型展示 1） 全等异侧型—90°（共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 【证明】如图，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N. ∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN(角平分线上的点到角两边的距离相等)， 在正方形MONC中，由题意可得∠MCN＝360º－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90º，∴∠MCD＋∠DCN＝90º， 又∵∠DCE＝90º，∴∠ECN＋∠MCD＝90º，∴∠MCD＝∠ECN， ∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴结论①成立； ∵四边形MONC为正方形，∴OM＝ON＝OC， 又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝OC，∴结论②成立； ∴，∴结论③成立. 2） 全等同侧型—90°（斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 【证明】如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G. 由角平分线性质可得CF＝CG，∴四边形CFOG为正方形， ∵∠1＋∠2＝90º，∠3＋∠2＝90º，∴∠1＝∠3，∴△CDF≌△CEG， ∴CD＝CE，结论①成立； 在正方形CFOG中，OF＝OG＝OC， ∵OE－OD＝OG＋GE－OD＝OG＋FD－OD＝OG＋OF，∴OE－OD＝OC＝OC，结论②成立； 3）全等同侧型—60°和120°（等边三角形对120°模型） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 【证明】如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G. 由角平分线性质可得CF＝CG，在四边形OFCG中，∠FCG＝60º， ∵∠FCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG＝60º，∴∠FCD＝∠GCE，∴△CDF≌△CEG(ASA)， ∴CD＝CE，结论①成立； 在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60º，∴OF＝OG＝OC， 又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝OC＝OC，结论②成立； ，结论③成立. 4）全等异侧型—60°和120°（等边三角形对120°模型） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 【证明】如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N. 由角平分线性质可得CM＝CN，在四边形ONCM中，∠MCN＝60°， ∵∠DCM+∠MCE=∠ECN+∠MCE=60°∴∠DCM=∠ECN，∴△DCM≌△ECN（ASA）, ∴CD=CE，结论①成立； 在Rt△COM和Rt△CON中，∠COM=∠CON=60°，∴OM=ON=OC， 又∵DM=EN=OD-OM=OE+ON=OD-OC=OE+OC，∴OD－OE＝OC， 在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60º，∴OF＝OG＝OC，结论②成立； ，结论③成立. 5）全等型（对模型） 条件：如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③. 【证明】如图，过点C作CF⊥