2024年中考数学专题复习 二次函数中线段最值 学案

中考专题复习之二次函数综合 -线段最大值问题 一、考法解析 初中的函数主要有一次函数、反比例函数和二次函数。重庆中考第25题主要考查学生对二次函数知识的综合运用,结合三角函数(系数可能不为1)、图形的变换(平移、旋转、轴对称)等求解二次函数与线段、角、面积距离等相关问题。此外还考查二次函数结合动点问题寻找满足条件的特殊点的坐标。 二、考法示例 1.如图,已知二次函数的图象交x轴于A、B两点(A在B左边),交y轴于C点。 (1)求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式; (2)点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与A,C重合),过点P作y轴平行线交直线AC于Q点,求线段PQ的最大值; 思路点拨:设出的坐标,根据轴,可以表示出Q的坐标,接着用,即可以表示出,根据二次函数的性质,即可以求出当时,取到最大值. 变式1: 点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与A,C重合),过点P作x轴平行线交直线AC于M点,求线段PM的最大值; 思路点拨:设出的坐标,根据轴,可得,代入直线的解析式,即可求出,再用,即可求得的最大值. 变式2: 点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与A,C重合),求P点到直线AC距离的最大值: 思路点拨:过作轴交于点.利用等腰直角三角形中的特殊角的三角函数可以转化成. . 追问1:如果没有特殊角,如A(-4,0),你还能求吗? 追问2:你能求出 PQH周长的最大值吗? 思路点拨:思路①通过等腰三角形的中特殊角的三角函数,可以分别将和这两条斜线段转化成与铅垂线段相关,借助的最大值,从而求出周长的最大值;思路②利用与相似,周长之比等于相似比,进而将的周长最值转化成与铅垂线段的最值. 变式3 点是直线上方抛物线上一动点(不与,重合),连接,,求面积的最大值; 思路点拨:过作轴,过作交于,进而将转化为,即 . 追问3:你还能用其他方法来求面积的最大值吗? 思路点拨:过作轴,交轴于点,过作轴交于点.通过观察图形,可得.即的面积既可以通过割的方法来求面积最值,也可以通过补的方法来求面积最值. 三、考题精练 练习1 如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx2+bx+c与直线AB交于点A(0,﹣4),B(4,0). (1)求该抛物线的函数表达式; (2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点,过点P作x轴的平行线交AB于点C,过点P作y轴的平行线交x轴于点D,求PC+PD的最大值及此时点P的坐标; 练习2 如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,3). (1)求抛物线的函数表达式; (2)点P为直线AB上方抛物线上一动点,过点P作PQ⊥x轴于点Q,交AB于点M,求PMAM的最大值及此时点P的坐标; (3)在(2)的条件下,点P′与点P关于抛物线yx2+bx+c的对称轴对称.将抛物线yx2+bx+c向右平移,使新抛物线的对称轴l经过点A.点C在新抛物线上,点D在l上,直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标,并把求其中一个点D的坐标的过程写出来. 练习3.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与轴分别交于两点,与轴交于点,连接,其中,. (1)求抛物线的解析式; (2)点是直线上方抛物线上一点,过点作轴交于点,作轴交于点,求的最小值,及此时点的坐标; (3)求周长的最大值. 思路点拨:这里(2)问求的最小值,需要首先将转化为.线段的长度为定值,所以的最小值即是的最大值. 练习4.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,,与轴交于点. (1)求该抛物线的解析式: (2)过点作,交抛物线于点,点直线上方抛物线上一动点,连接,,,.求面积的最大值及此时点的坐标; (3)求四边形面积的最大值. 思路点拨:(3)问中求四边形的面积,可以将四边形的面积转化为.通过观察图形,我们发现.的面积为定值,所以四边形的面积最值问题就转化为的面积最值问题. 【设计意图】巩固变式4中面积最大值问题,(3)问作为本题的能力提升题,需要学生借助平行线间距离相等将的面积转化成的面积.让学生体会转化和多题一解的数学模型思想,提升学生的学习效率. 难易程度: 所需时间:18分钟 学科网(北京)股份有限公司 $$