第11招三角形中的六种常见证明类型 练习课件 2023—2024学年鲁教版（五四制））数学七年级下册

第11招 三角形中的六种常见证明类型 鲁教五四版 七年级下 类型 1 证明数量关系 分 类 训 练 1 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别为边AB，AC的中点．求证：CD＝BE. 极速提分法 极速提分法 2 [2023·宜宾]已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC. 求证：∠B＝∠E. 极速提分法 极速提分法 3 [2022·泰安泰山区模拟]如图，已知△ABC≌△ADE，其中∠CAE＝38°，∠C＝52°，则DE与AC有何位置关系？请说明理由． 类型 2 证明位置关系 极速提分法 【解】DE⊥AC. 理由如下：∵△ABC≌△ADE，∠C＝52°， ∴∠E＝∠C＝52°. ∵∠CAE＝38°， ∴∠AFD＝∠E＋∠CAE＝52°＋38°＝90°. ∴DE⊥AC. 极速提分法 4 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE均是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE. 求证：AH＝2BD. 类型 3 证明倍分关系 极速提分法 极速提分法 5 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E是线段AB上一点，BC＝BE，点D是线段CB延长线上一点，连接DE，且AC＝DE. 类型 4 证明和差关系 极速提分法 (1)求证：AB＝BD. 极速提分法 (2)BF平分∠ABC，交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG. 当KB平分∠AKG时，求证：AK＝ DG＋KG. 极速提分法 极速提分法 极速提分法 6 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC. 求证：AB－AC＞PB－PC. 类型 5 证明不等关系 极速提分法 极速提分法 类型 6 证明面积关系 极速提分法 当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明． 极速提分法 【解】在题图②中上述结论仍成立；在题图③中不成立．对于题图②证明如下： 如图，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC， 垂足分别为M，N， 则∠AMD＝∠DME＝∠DNF＝90°. 易知∠MDN＝90°. ∵D为AB边的中点，∴AD＝BD. 极速提分法 极速提分法 极速提分法 极速提分法 【证明】∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC. 又∵点D，E分别为边AB，AC的中点， ∴AD＝AE. 在△ADC和△AEB中， ∴△ADC≌△AEB(SAS)．∴CD＝BE. 【证明】∵AF＝DC，∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF. ∵AB∥DE，∴∠A＝∠D. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠B＝∠E. 【证明】∵AD，BE是△ABC的高， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°. 又∵∠C＝∠C，∴∠EBC＝∠EAH. 在△BCE和△AHE中， ∴△BCE≌△AHE(ASA)．∴BC＝AH. 又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD.∴AH＝2BD. 【证明】在Rt△ACB和Rt△DEB中， ∴Rt△ACB≌Rt△DEB(HL)． ∴AB＝BD. 【解】如图，作BM平分∠ABD交AK于点M， 则∠ABM＝∠MBD.∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°， ∴∠ABM＝∠MBD＝45°. ∵KB平分∠AKG，∴∠AKB＝∠BKG. ∵BF平分∠ABC，∴∠CBF＝∠ABC＝45°. ∴∠DBG＝∠CBF＝45°.∴∠ABM＝∠MBD＝∠DBG. 在△BMK和△BGK中， ∴△BMK≌△BGK(ASA)．∴BM＝BG，MK＝KG. 在△ABM和△DBG中， ∴△ABM≌△DBG(SAS)．∴AM＝DG. ∵AK＝AM＋MK，∴AK＝DG＋KG. 【证明】如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE. ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD. 在△AEP和△ACP中， ∴△AEP≌△ACP(SAS)．∴PE＝PC. 在△PBE中，BE＞PB－PE，即AB－AE＞PB－PE， ∴AB－AC＞PB－PC. 7在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝∠A，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB(或它们的延长线)于点E，F. 当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC时 (如图①)，易证S△DEF＋S△CEF＝S△ABC. 在△ADM和△BDN中， ∴△ADM≌△BDN(AAS)．∴DM＝DN. ∵∠MDE＋∠EDN＝∠MDN＝90°， ∠EDN＋∠NDF＝∠EDF＝90°，∴∠MDE＝∠NDF. 在△DME和△DNF中， ∴△DME≌△DNF(ASA)