7.4.1 二项分布 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4 二项分布与超几何分布 前面我们学习了离散型随机变量的有关知识,本节将利用这些知识研究两类重要的概率模型——二项分布和超几何分布. 7.4.1 二项分布 在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 一、伯努利试验 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 显然,n重伯努利试验具有如下共同特征: (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立. “重复”意味着各次试验成功的概率相同. 二、探究新知 下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少? (1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次. (2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. (3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件. 在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X.进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.例如，对产品抽样检验，随机抽取n件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列. 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的? 用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1、2、3),用如下图的树状图表示试验的可能结果. 二、探究新知 由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积.由概率的加法公式和乘法公式得 为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为0.82×0.2，并且与哪两次中靶无关.因此，3次射击恰好2次中靶的概率为 ×0.82×0.2.同理可求中靶0次、1次、3次的概率.于是，中靶次数X的分布列为: P(X=k)= ×0.8k×0.23-k(k=0，1，2，3). 二、探究新知 如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些?写出中靶次数X的分布列. 二、探究新知 三、二项分布 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p). 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为 对比二项分布与二项式定理,你能看出它们之间的联系吗? 由二项式定理,容易得到 四、典型例题 例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求: (1)恰好出现5次正面朝上的概率; (2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 四、典型例题 例2 下图是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互 平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙 作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落的 过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落 入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0、1、2、…、10， 用X表示小球最后落入格子的号码,求X的分布列. 1 0 0 4 3 2 P 0.05 0.10 0.15 0.20 X 5 7 10 9 8 0.25 0.30 6 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 四、典型例题 例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3 胜制对甲更有利? 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 四、典型例题 一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下: (1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率P; (2)确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性; (3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X～B(n，p). 对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值和方差等数字特征,因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第