2024年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题（相似三角形问题）

2024年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题（相似三角形问题） 1．如图，抛物线：的图像与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标：若不存在，试说明理由． 2．如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)若点P是上的一动点，过点P作，交于E，连接，求面积的最大值． (3)若点D为的中点，点M是线段上一点，且为等腰三角形，求M点的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点连接．点沿以每秒个单位长度的速度由点向点运动，到达点后再以同样的速度沿轴正半轴运动，同时，点沿以每秒个单位长度的速度由点向点运动，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接．过点作轴，与抛物线交于点连接．设点的运动时间为秒，已知点、点的坐标分别为． （1）求抛物线的解析式． （2）①直接写出点的坐标（用含的代数式表示，结果需化简）； ②当点在线段上运动，且满足时，求的值． （3）试探究：在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的中点落在坐标轴上？若存在，请直接写出此时的值与点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，经过（1，0）和（2，3）两点的抛物线y＝ax2+c交x轴于A、B两点，P是抛物线上一动点，平行于x轴的直线l经过点（0，﹣2）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，y轴上有点C（0，），连接PC，设点P到直线l的距离为d，PC＝t．童威在探究d﹣t的值的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算d﹣t的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想d﹣t是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明； （3）如图2，点P在第二象限，分别连接PA、PB，并延长交直线l于M、N两点．若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系． 5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，已知点A（3，0），O为坐标原点， (1)当B的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画⊙A，以C为圆心，AB长为半径画⊙C，通过计算说明⊙A和⊙C的位置关系； (3)如果△BAC与△AOC相似，求抛物线顶点P的坐标 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点(点在点的左侧)，与轴交于点，经过点的直线与该抛物线交于另一点，并且直线轴，点为该抛物线上一个动点，点为直线上一个动点． （1）当，且时，连接，，求证：四边形是平行四边形 （2）当时，连接，线段与线段交于点，，且，连接，求线段的长； （3）连接，，试探究：是否存在点，使得与互为余角?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(−3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD、CD、AC、BC． (1)请直接写出抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)求证：△ACD是直角三角形； (3)判断∠ACB和∠OAD的数量关系，并说明理由； (4)如图2，点F是线段AD上一个动点，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，请直接写出点F的坐标；若不相似，请说明理由． 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+1与x轴交于两点A（﹣1，0），B（1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点B作BD∥CA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C，顶点为D．抛物线对称轴与x轴交于点F，E是对称轴上的一个动点． (1)若，求的值； (2)若，求点E的坐标； (3)当取得最小值时，连接并延长交抛物线于点M，请直接写出的长度． 10．如图1，抛物线经过，，点B在x轴上，且，过点B作轴交抛物线于点D，点E，F分别是线段CO，BC上的动点，且，连接EF． (1)求抛物线的表达式及点D的坐标； (2)当是直角三角形时，求点F的坐标； (3)如图2，连接AE，AF，直接写出的最小值为：______． 11．如图，抛物线经过点，点，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使，求点Q的坐标； (3)在坐标平面内找一点P，使与相似，且，求出所有点P的坐标． 12．如图1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）