第5招应用平行线的判定与性质的几种常见的辅助线的作法 练习课件 2023-2024学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

第5招 应用平行线的判定与性质的几种常见的辅助线的作法 方法 1 加截线(连接两点或延长线段相交) 分 类 训 练 1 如图,已知AB∥CD,∠ABF=∠DCE. 求证:∠BFE=∠FEC. 极速提分法 【证明】(方法一)连接BC,如图①所示. ∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD. 又∵∠ABF=∠DCE, ∴∠ABC-∠ABF=∠BCD-∠DCE, 即∠FBC=∠ECB.∴BF∥CE. ∴∠BFE=∠FEC. 极速提分法 (方法二)延长AB,CE相交于点G,如图②所示. ∵AB∥CD, ∴AG∥CD.∴∠DCE=∠G. 又∵∠ABF=∠DCE, ∴∠ABF=∠G.∴BF∥CG. ∴∠BFE=∠FEC. 极速提分法 2 如图,AB∥CD,P为AB,CD之间的一点,已知∠2=28 ,∠BPC=58 ,求∠1的度数. 方法 2 过“拐点”作平行线 极速提分法 【解】(方法一)过点P作射线PN∥AB,如图①所示. ∵PN∥AB,AB∥CD, ∴PN∥CD.∴∠4=∠2=28 . ∵PN∥AB,∴∠3=∠1. 又∵∠3=∠BPC-∠4=58 -28 =30 . ∴∠1=30 . 极速提分法 (方法二)过点P作射线PM∥AB,如图②所示. ∵PM∥AB,AB∥CD,∴PM∥CD.∴∠4+∠2=180 . 又∵∠2=28 ,∴∠4=180 -28 =152 . ∵∠4+∠BPC+∠3=360 ,∠BPC=58 , ∴∠3=360 -∠BPC-∠4=360 - 58 -152 =150 . ∵AB∥PM,∴∠1+∠3=180 . ∴∠1=180 -∠3=180 -150 =30 . 极速提分法 3 (1)在图①中,AB∥CD,则∠BEF+∠FGD与∠B+∠EFG+∠D有何关系?请说明理由. 极速提分法 【解】∠BEF+∠FGD=∠B+∠EFG+∠D. 理由如下:如图,过折点E,F,G分别作EM∥AB,FN∥AB,GH∥AB, 由AB∥CD,得AB∥EM∥FN∥GH∥CD, ∴∠1=∠B,∠2=∠3,∠4=∠5, ∠6=∠D. ∴∠BEF+∠FGD=∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D=∠B+∠EFG+∠D. 极速提分法 (2)在图②中,若AB∥CD,又能得到什么结论? 【解】∠E1+∠E2+∠E3+…+ ∠En=∠B+∠F1+∠F2+…+ ∠Fn-1+∠D. 极速提分法 4 (1)如图①,若AB∥DE,∠B=135 ,∠D=145 ,求∠BCD的度数. 极速提分法 【解】过点C向左作CF∥AB,∴∠B+∠BCF=180 . ∴∠BCF=180 -∠B=180 -135 =45 . ∵AB∥DE,CF∥AB, ∴DE∥CF.∴∠D+∠FCD=180 . ∴∠FCD=180 -∠D=180 -145 =35 . ∴∠BCD=∠BCF+∠FCD=45 +35 =80 . 极速提分法 (2)如图①,在AB∥DE的条件下,你能猜想出∠B,∠BCD,∠D之间的数量关系吗?请说明理由. 极速提分法 【解】∠B+∠BCD+∠D=360 . 理由如下:过点C向左作CF∥AB, ∴∠B+∠BCF=180 .∵AB∥DE,CF∥AB, ∴CF∥DE.∴∠FCD+∠D=180 . ∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=180 +180 , 即∠B+∠BCD+∠D=360 . 极速提分法 (3)如图②,AB∥EF,根据(2)中的猜想,直接写出∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 【解】∠B+∠C+∠D+∠E=540 . 极速提分法 5 如图①,直线EF分别与直线AB,CD相交于点E,F,∠EPQ=135 ,EF平分∠AEP,且∠FEP=∠EFQ. 极速提分法 (1)求证:AB∥CD. 【证明】∵EF平分∠AEP,∴∠AEF=∠FEP. 又∵∠FEP=∠EFQ, ∴∠AEF=∠EFQ.∴AB∥CD. 极速提分法 (2)当∠PQD=65 时,求∠EFQ的度数. 极速提分法 (3)如图②,延长QP交直线AB于G,GH平分∠AGQ交EF于点H,求∠EHG的度数. 极速提分法 极速提分法 极速提分法 6 如图,AB∥DE,则∠BCD,∠B,∠D有何关系?为 什么? 极速提分法 【解】∠BCD=∠B-∠D. 理由如下:如图,过点C作CF∥AB. ∵CF∥AB,∴∠B=∠BCF. ∵AB∥DE,CF∥AB, ∴CF∥DE.∴∠DCF=∠D. ∴∠B-∠D=∠BCF-∠DCF. ∵∠BCD=∠BCF-∠DCF,∴∠BCD=∠B-∠D. 极速提分法 7 如图,已知AB∥DE,∠BCD=30 ,∠CDE=138 ,求∠ABC的度数. 极速提分法 【解】如图,过点C作CF∥AB. ∵AB∥DE,CF∥AB, ∴DE∥CF. ∴∠CDE+∠DCF=180 . ∴∠DCF=180 -∠CD