6.3.1 平面向量基本定理-2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

人教A版2019必修第二册 第 六 章 平面向量及其应用 6.3.1 平面向量基本定理 1.理解基底的含义,并能判断两个向量是否构成基底. 2.理解平面向量基本定理及其意义. 3.会用基底表示平面向量. 4.通过平面向量基本定理的学习,提升直观想象、逻辑推理等素养. 教学目标 PART.01 情境导入 温故知新 共线向量定理: 方向：当时，的方向与的方向相同； 当时， 的方向与的方向相反； 当时，,方向任意 长度： 向量与非零向量共线 情境导入 音乐是人们在休闲时候的一种选择,不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐,还是高雅的古典音乐,它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上,音乐有基本音符:Do Re Mi Fa So La Si,所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合,音乐的奇妙就在于此. 阅读教材并思考, 在平面向量中,我们能否找到它的“基本音符”呢?你发现它是什么? 能,它是基底. PART.02 平面向量基本定理 概念讲解 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.我们可以通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的分力。 类似地，我们能否将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢? 概念讲解 问题1：已知非零向量，那么所有与共线的向量，都能用表示吗？如何表示？ 能， 问题2：可以只用这个非零向量来表示这一平面上的任意一个向量吗？ 不能，只能表示与共线的向量 问题3：要表示平面上的任意一个向量，至少需要几个向量？ 需要两个不共线的向量 概念讲解 探究：如图，设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量. 将按，的方向分解，你有什么发现？ O M N 概念讲解 思考1：平面内所有的向量都能被其线性表示吗？再给出另外一个，还能这样表示吗？ 能 O C B A 思考2：与，共线的向量，能这样表示吗？ 思考3：能这样表示吗？ 能， 概念讲解 思考4：如果给定的两向量共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？ 不能，此时与，共线，当向量与它们不共线时，则无法表示. 只有不共线时，才可以用来表示平面内的任一向量，即若不共线，则对，都存在，，使得 概念讲解 思考5：若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？ 由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2， ∵e1与e2不共线， ∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0， ∴λ1＝μ1，λ2＝μ2． 也就是说，有且只有一对实数，使. 同一平面内任一向量都可以由同一基底唯一表示. 概念讲解 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使. 定义 若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 定义 概念辨析 判断正误. (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底. （ ） (2)零向量可以作为基底. （ ） (3)若是同一平面内两个不共线的向量，则(为实数)可以表示该平面内所有向量. （ ） × × √ 概念讲解 基底有的特征： ①基底不唯一 ②基底是两个不共线的向量 ③零向量不能作为基底 ④同一向量在选择不同基底时，可能相同也可能不同 PART.03 平面向量基本定理的应用 例题剖析 D 归纳小结 例题剖析 练习：设向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则，试求的值。 解：因为与共线，所以存在，使得， 即. 故，，解得. 例题剖析 例2.如图，，不共线，且，用，表示. 解：因为， 所以 例题剖析 若三点共线，为直线外一点存在实数，使且. 思考：观察，你有什么发现？ 例题剖析 练习：如图，在中，,P是BN上的一点，若，则实数的值为（ ）。 A. B. C. D. C 例题剖析 例题剖析 例4.如图，是的中线，用向量方法证明是直角三角形。 证明：如图，设，， 则，，于是. 因为，所以 因为，，所以 因此. 于是是直角三角形. 例题剖析 例题剖析 PART.04 课堂小结 课堂小结 例1.如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　). A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+