第四章三角形素养集训1与三角形的高角平分线有关的计算模型 练习课件 2023-2024学年北师大版 数学七年级下册

第四章 三角形 素养集训 1.与三角形的高、角平分线有关的计算模型 北师 七年级下 模型1 同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数 1.在 ABC中,∠B<∠C,AQ平分∠BAC,交BC于点Q,P是AQ上的一点(不与点Q重合),PH⊥BC于点H. 1 2 3 4 5 6 (1)如图①,若∠C=2∠B=60 ,当点P与点A重合时,求 ∠QPH的度数. 解:(1)因为∠C=2∠B=60 ,所以∠B=30 ,所以∠BAC=180 -60 -30 =90 .因为AQ平分∠BAC,所以∠BAQ=∠QAC=∠BAC=45 .所以∠AQH=180 -∠AQB=∠B+∠BAQ=30 +45 =75 . 因为PH⊥BC,所以∠PHQ=90 ,所以∠QPH=∠QAH=90 -75 =15 . 1 2 3 4 5 6 (2)如图②,当 ABC是锐角三角形时,试探索∠QPH, ∠C,∠B之间的数量关系,并说明理由. 模型1 同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数 1.在 ABC中,∠B<∠C,AQ平分∠BAC,交BC于点Q,P是AQ上的一点(不与点Q重合),PH⊥BC于点H. 1 2 3 4 5 6 解:(2)过点A作AG⊥BC于点G, 则∠PHQ=∠AGQ=90 ,所以PH∥AG, 所以∠QPH=∠QAG. 设∠QPH=∠QAG=x,因为AQ平分∠BAC, 所以∠BAQ=∠QAC=x+∠GAC. 因为∠AQH=∠B+∠BAQ,∠AQH=90 -x, 所以∠BAQ=90 -x-∠B. 所以x+∠GAC=90 -x-∠B. 1 2 3 4 5 6 因为AG⊥BC,所以∠GAC=90 -∠C,所以x+90 -∠C=90 -x-∠B,所以x=(∠C-∠B),即∠QPH=(∠C-∠B). 1 2 3 4 5 6 模型2 不同顶点的角平分线与高线求角度 2.如图,在 ABC中,CD是∠ACB的平分线,高AE与CD相交于点O,∠BAC=70 ,∠ACB=60 .求: 解:(1)因为∠BAC=70 ,∠ACB=60 ,所以∠B=180 -∠BAC-∠ACB=180 -70 -60 =50 . (1)∠B的度数. 1 2 3 4 5 6 (2)∠AOD的度数. 解:(2)因为∠ACB=60 ,CD是∠ACB的 平分线,所以∠DCB=∠ACB=30 . 因为AE⊥BC,所以∠AEC=90 , 所以∠COE=180 -90 -30 =60 ,所以∠AOD=∠EOC=60 . 模型2 不同顶点的角平分线与高线求角度 2.如图,在 ABC中,CD是∠ACB的平分线,高AE与CD相交于点O,∠BAC=70 ,∠ACB=60 .求: 1 2 3 4 5 6 3.如图,在 ABC中,AD是高,BF是角平分线,AE,BF交于点O.若∠ABC=50 ,∠DAE=10 ,求∠AOB的度数. 1 2 3 4 5 6 解:因为AD⊥BC,∠DAE=10 ,所以∠AED=180 -90 -10 =80 . 所以∠AEB=180 -80 =100 . 因为∠ABC=50 , 所以∠BAE=180 -100 -50 =30 . 因为∠ABC=50 ,BF是角平分线, 所以∠ABF=∠ABC=25 , 所以∠AOB=180 -∠ABF-∠BAE=180 -25 -30 =125 . 1 2 3 4 5 6 模型3 两条高线与一内角平分线求角度 4.如图,在 ABC中,AD是角平分线,AE和BF是高,并且∠CBF=∠DAE=2∠ABF,求 ABC的各个内角的度数. 1 2 3 4 5 6 解:设∠ABF=x,则∠CBF=∠DAE=2x,所以∠ABE=∠ABF+∠CBF=3x. 因为AE是 ABC的高,所以∠AEB=∠AEC=90 , 所以∠BAE=90 -∠ABE=90 -3x, 所以∠BAD=∠BAE-∠DAE=90 -5x. 因为AD是 ABC的角平分线, 所以∠BAD=∠DAC=∠BAC=90 -5x, 1 2 3 4 5 6 所以∠CAE=∠DAC-∠DAE=90 -7x. 因为BF是 ABC的高, 所以∠BFC=90 =∠AEC, 所以∠EAC+∠C=90 ,∠FBC+∠C=90 , 所以∠EAC=∠FBC, 所以90 -7x=2x,解得x=10 , 所以∠ABC=3x=30 ,∠BAC=2(90 -5x)=80 ,所以∠ACB=180 -∠ABC-∠BAC=70 . 1 2 3 4 5 6 模型4 两内角平分线求角度 5.如图,在 ABC中,BE,CD分别为其角平分线且交于点O. (1)当∠A=60 时,求∠BOC的度数. 1 2 3 4 5 6 解:(1)因为∠A=60 ,所以∠ABC+∠ACB=120 . 因为BE,CD为 ABC的角平分线, 所以∠EBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB