第四章三角形素养集训4构造全等三角形的常用方法 练习课件 2023-2024学年北师大版 数学七年级下册

第四章　三角形 素养集训 4.构造全等三角形的常用方法 北师　七年级下 方法1　连接法 1.如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，∠A＝60°，∠BDC＝140°，求∠B的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：如图，连接AD， 在△ABD与△ACD中， ​ 所以△ABD≌△ACD（SSS）， 所以∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，∠ADB＝∠ADC. 因为∠BDC＝140°， 所以∠ADB＝∠ADC＝（360°－140°）＝110°. 因为∠BAD＋∠ADB＋∠B＝180°，所以∠B＝40°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法2　翻折法 2.如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为点D.试说明：∠2＝∠1＋∠C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：如图，延长AD交BC于点F. 因为AD⊥BE， 所以∠ADB＝∠FDB＝90°. 因为BE是角平分线， 所以∠ABD＝∠FBD. 在△ABD和△FBD中， 所以△ABD≌△FBD（ASA）.所以∠2＝∠DFB. 因为∠DFB＝180°－∠AFC＝180°－（180°－∠1－∠C）＝∠1＋∠C，所以∠2＝∠1＋∠C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 点拨：本题实际上用到了翻折法，相当于把△ABD沿BE翻折到△FBD. 方法3　补形法 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF. 试说明：∠ADC＝∠BDF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：如图，过点B作BG⊥BC，交CF的延长线于点G.则 ∠CBG＝90°. 因为∠ACB＝90°， 所以∠2＋∠ACF＝90°. 因为CE⊥AD，所以∠AEC＝90°. 所以∠1＋∠ACF＝90°.所以∠1＝∠2. 在△ACD和△CBG中， 所以△ACD≌△CBG（ASA）.所以∠ADC＝∠G，CD＝BG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为点D为BC的中点，所以CD＝BD.所以BD＝BG. 因为∠DBG＝90°，∠DBF＝45°， 所以∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°. 所以∠DBF＝∠GBF. 在△BDF和△BGF中， 所以△BDF≌△BGF（SAS）. 所以∠BDF＝∠G.所以∠ADC＝∠BDF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法4　延长法 4.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E.试说明：BD＝2CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：如图，延长BA，CE交于点F， 因为BD平分∠ABC，所以∠1＝∠2. 因为CE垂直于BE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以∠BEF＝∠BEC＝90°. 在△BEF和△BEC中， 所以△BEF≌△BEC（ASA）， 所以EF＝EC，所以CF＝2CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为∠BAC＝90°，所以∠CAF＝90°＝∠BEF， 所以∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝90°，所以∠1＝∠3. 由题意得，AB＝AC. 在△ABD和△ACF中， 所以△ABD≌△ACF（ASA）， 所以BD＝CF，所以BD＝2CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法5　倍长中线法 5.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且∠EAF＝∠EFA.试说明：AC＝BF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：如图，延长AD至点M，使DM＝AD，连接BM. 因为AD是△ABC的中线， 所以BD＝CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 在△MDB和△ADC中， ​ 所以△MDB≌△ADC（SAS）. 所以∠M＝∠EAF，BM＝AC. 又因为∠EAF＝∠EFA，∠EFA＝∠BFM， 所以∠M＝∠BFM.所以BM＝BF.所以AC＝BF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC.AD⊥AC，点M为BC的中点，试说明：DE＝2AM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：如图，延长AM至点N，使MN＝AM， 连接BN，则AN＝2AM. 因为点M为BC的中点， 所以CM＝BM. 在△AMC和△NMB中， 所以△AMC≌△NMB（SAS），所以AC＝BN，∠C＝∠NBM. 因为AD＝AC，所以AD＝BN. 因为AB⊥AE，AD⊥AC，所以∠EAB＝∠DAC＝90°， 所以∠EAD＋∠BAC＝180°，所以∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°