第2章空间向量与立体几何章末小结课件- 2023-2024学年高二数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 第2章章末小结 1 知识导图 2 题型1 空间向量的线性运算 例1 如图，三棱柱 中，底面边长和侧棱长都等于1， . （1）设，，，用向量，，表示 ， 并求出 的长度； （2）求异面直线与 所成角的余弦值. 题型探究 3 [解析] （1） . 因为，同理可得 ， 所以 . 题型探究 4 （2）因为 ，所以 ， 因为 ， 所以， . 所以异面直线与所成角的余弦值为 . 题型探究 5 小结 在几何体中，根据图形的特点，选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向 量作为一组基，或选择有公共起点且关系最明确的三个不共面的向量作为一组基，这 样更利于解题. 题型探究 6 题型2 空间向量的坐标运算 例2 （2021年新高考全国Ⅰ卷）（多选题）在正三棱柱 中， ，点满足，其中， ，则( ) . BD A.当时， 的周长为定值 B.当时，三棱锥 的体积为定值 C.当时，有且仅有一个点，使得 D.当时，有且仅有一个点，使得 平面 题型探究 7 [解析] 易知，点在正方形内部（含边界）.当 时， ，即此时点 线段，故 的周长不是定值，故A错误. 当时，，故此时点 的轨迹为线段，而， 平面， 平面，所以 平面，则点到平面的距离为定值，所以三棱锥 的体积为定值，故B正确. 题型探究 8 当时，，取，的中点分别为，，连接，，则，所以点的轨迹为线段， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、 轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，， ，，，， 则，0，，，，，令，得或，所以点， 均满足，故C错误. 题型探究 9 当时，，取，的中点分别为，，则，所以点的轨迹为线段. 设，，，因为，0，，所以，，，，，，若 平面，则, 故，可得， 此时点与点重合，故D正确.故选 . 题型探究 10 小结 熟记空间向量的坐标运算公式是解题的关键.在利用坐标运算公式时，注意先对向 量式子进行化简再运算.综合考查了学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算的核心素养. 题型探究 11 题型3 利用空间向量解决平行、垂直问题 例3 （2022年全国乙卷）在正方体中，，分别为, 的中点， 则( ) . A A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面平面 D.平面平面 题型探究 12 [解析] 在正方体中，且 平面 ， 又 平面，所以，因为,分别为, 的中点， 所以，所以，又，, 平面 , 所以 平面，又 平面 ， 所以平面 平面 ，故A正确. 题型探究 13 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线 为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，设 ， 则,,,,, ,， ， 则,，, ， ,, . 设平面的法向量为 ， 则令,则,,可得 ， 题型探究 14 同理可得平面的法向量为，平面的法向量为 ， 平面的法向量为 ， 则 ， 所以平面与平面 不垂直，故B错误. 因为与 不平行， 所以平面与平面 不平行，故C错误. 因为与 不平行， 所以平面与平面 不平行，故D错误. 故选A. 题型探究 15 小结 用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要应用直线的方向向量和平面的 法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理.解题过程渗透了逻辑 推理、直观想象以及数学运算的核心素养. 题型探究 16 题型4 利用空间向量求距离 例4 如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥 中， ， 平面，，分别为， 的中点. ，，与底面成 角. （1）求异面直线与 所成角的余弦值； （2）求点到平面 的距离. 方法指导（1）先确定与底面所成的角，计算 ，再建立空间直角坐标系， 利用向量数量积求异面直线与所成角的余弦值；（2）先求平面 的一个法向 量，再利用向量投影求点到平面 的距离. 题型探究 17 [解析] （1） 平面，是与底面 所成的角，即 . ， . 以为坐标原点，，，所在的直线分别为，， 轴，建立空间直角坐标系 （图略），则，，，， ， 从而，，， ， 因此， ， 异面直线与所成角的余弦值为 . 题型探究 18 （2）设平面的法向量为，由（1）可得， . ，，， ， 令，则，,故平面的一个法向量为 ， 从而点到平面的距离为 . 题型探究 19 小结（1）求点到平面的距离，常常利用向量法，转化为平面外一点与平面内一点构成 的向量在平面的法向量上的投影向量的长度. （2）求直线到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选 取，以易于求解为准则. 题型探究 20 题型5 利用空间向量求线面角 例5 （2022年全国甲卷）在四棱锥中， 底面 ， ，，， ． （1）证明: . （2）求与平面 所成的角的正弦值． 题型探究 21 [解析] （1） 底面， 底面 ， ， 取的中点为，连接（图略），则