3.3 正态分布课件-2023-2024学年高二数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第3章 概率 3.3 正态分布 1 1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义.（数学抽象） 2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质及意义.（数学抽象、直观想象） 3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.（数学运算、数据分析） 学习目标 2 1.正态曲线的特点是什么？ [答案] 正态曲线的特点是中间高，两边低，左右大致对称. 2.正态曲线中参数 ， 的意义是什么？ [答案] 参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值 去估 计； 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本方差 去估计. 自主预习 3 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）正态变量函数表达式中参数 ， 的意义分别是样本的均值与方差. ( ) × （2）服从正态分布的随机变量是连续型随机变量. ( ) √ （3）正态曲线是一条钟形曲线. ( ) √ （4）离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分 布用分布列描述. ( ) × 自主预习 4 2.在某项测量中，测量结果服从正态分布.若在 内取值的概率为 ，则在 内取值的概率为____. 0.8 [解析] 服从正态分布 ， 在与 内取值的概率相同，均为0.4. 在内取值的概率为 . 自主预习 5 3.已知随机变量 服从正态分布，若，求 . [解析] 如图所示，因为，所以， 所以，所以 . 自主预习 6 探究1 正态曲线及特点 设表示某产品的寿命（单位： ）.人们对该产品 有如下的了解：寿命小于的概率为 ，寿命在 的概率为，寿命在 的概率为 ，由此我们可以画出下图. 合作探究 7 问题1： 这个图形能告诉我们产品寿命在 的概率是多少吗？ [答案] 不能. 问题2： 若将组距缩小，改为下图所示，这样可以了解到更多信息，若将组距无限细分，会是什么形状？ [答案] 若组距无限细分，一般是形状像“钟”的光滑曲线，即正态曲线. 问题3： 正态分布描述的随机变量 是离散型的吗？ [答案] 不是.它是连续的. 合作探究 8 问题4： 你能写出正态分布密度曲线的函数表达式吗？能从函数的角度分析它的图象特征吗？ [答案] 正态分布密度曲线的函数的解析式为，，，其中实数 ， 为参数， 由函数表达式可知，且函数的图象关于直线 对称. 合作探究 9 新知生成 1.正态曲线 函数，，其中实数 ， 为参数，我们称 的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 合作探究 10 2.正态曲线的特点 （1）曲线位于轴上方，与 轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线 对称； （3）在 处达到最大值 ； （4）当 一定时，曲线随着 的变化而沿 轴平移； （5）当 一定时， 越大，正态曲线越扁平, 越小，正态曲线越尖陡； （6）曲线与 轴之间所夹区域的面积等于1. 合作探究 11 3.标准正态分布 随机变量为服从参数为 和的正态分布，简记为 . 特别地，当， 时称为标准正态分布，其密度函数记为 ，其图象如图所示，简记为 ，其分布函数记 为 . 合作探究 12 新知运用 一、正态分布密度函数及正态曲线 例1 已知一个正态曲线如图所示，试根据该图象写出其正态密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差. 方法指导 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式. 合作探究 13 [解析] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线对称，最大值是，所以.由，解得 . 所以正态密度函数的解析式为， ， 总体随机变量的期望，方差 . 合作探究 14 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特 点：一是对称轴为直线 ；二是最大值为.这两点确定以后，相应的参数 ， 的值便确定了，代入 中便可求出相应的解析式. 合作探究 15 二、正态曲线的性质 例2 某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩 的直方图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为 正态分布），则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是 ( ) . A A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同 [解析] 由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等，由正态密度曲线的性质，可 知 越大，正态曲线越扁平， 越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到 大依次为甲、乙、丙.故选A. 合作探究 16 用正态曲线的性质可以求参数 ， 的值：（1）正态曲线是单峰的