3.2.4 离散型随机变量的方差 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第3章 概率 3.2 离散型随机变量及其分布 1 课时4 离散型随机变量的方差 2 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及方差的概念.（数学抽象、数学运算） 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.（逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 1.离散型随机变量的方差与样本的方差都是变量吗？ [答案] 样本的方差随样本的不同而变化，是一个随机变量，而离散型随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量与其均值 的平均偏离程度，因此它是一个常数而非变量. 自主预习 4 2.的取值范围是什么？若为常数，则 为何值？ [答案] ①因为，其中，，所以的取值范围为 . ②因为为常数，所以，故 . 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定. ( ) × （2）若是常数，则 . ( ) √ （3）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度. ( ) √ （4） . ( ) √ 2.已知随机变量，，则 的标准差为__． [解析] 的标准差 ． 自主预习 6 3.已知 的分布列为 0 1 0.5 0.3 0.2 求 ． [解析] ， ． 自主预习 7 4.在一次投篮游戏中，每人投篮3次，每投中1次记10分，没有投中扣5分，某人每次投 中的概率为 . （1）求此人恰好投中2次的概率； （2）求此人得分的方差. [解析] （1）记为投中的次数，由题意可知，, , 所以在3次投篮中，此人恰好投中2次的概率 . （2）记为此人的得分，由题意可知， ,所以得分的方 差 . 自主预习 8 探究1 离散型随机变量的方差 要从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩纪录，第一名同 学击中目标靶的环数 的分布列为 5 6 7 8 9 10 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 合作探究 9 第二名同学击中目标靶的环数 的分布列为 5 6 7 8 9 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 问题1： ， 各为何值？ [答案] ， ． 问题2： 能否根据和 的均值来决定派哪名同学参赛？ [答案] 不能． 问题3： 除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？ [答案] 有，可以用两名同学射击成绩的稳定性来刻画两名同学的射击成绩． 问题4： 如何定量刻画随机变量的稳定性？ [答案] 利用样本的方差来刻画随机变量的稳定性． 合作探究 10 新知生成 方差与标准差 若离散型随机变量 的分布列如下表： … … … … 则描述了相对于均值 的偏离大小，而 表示平均偏离的大小，但由于绝对值运算在数学处理上有许多不便，于 是用来刻画随机变量与其均值 的平 均偏离程度.我们称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量 的标 准差，方差记作,标准差记作 ． 合作探究 11 随机变量的方差和标准差 都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度. 方差（标准差） 越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差（标准差） 越大，则随机变量的取值越分散． 合作探究 12 新知运用 例1 某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． （1）设事件为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件 发生的概率； （2）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学期望与方差． 合作探究 13 [解析] （1）由已知得 ． （2） 的所有可能取值为0，1，2， ，， ． 所以随机变量 的分布列为 0 1 2 所以 , ． 合作探究 14 求离散型随机变量的均值和方差的基本步骤：（1）理解的意义，写出 的全部取值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列；（4）求， . 合作探究 15 袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.有放回地从袋中取两次，每 次取1个球，用 表示取出的2个球中的最大号码． （1）写出 的分布列； （2）求 的均值与方差． 合作探究 16 [解析] （1）由题意可知 的所有可能取值为1，2，3，有放回地从袋中取两次，每次 取1个球的所有情况为，，，，，，，， . 故,, , 所以 的分布列为 1 2 3 （2）由（1）可得，的均值 ， 方差 ． 合作探究 17 探究2 方差的性质以及几个