3.2.3 离散型随机变量的数学期望 课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第3章 概率 3.2 离散型随机变量及其分布 1 课时3 离散型随机变量的数学期望 2 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.(数学抽象) 2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值.(逻辑推理、数学运算) 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.(数学抽象、数学运算) 学习目标 3 1.随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量? [答案] 随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取;样本的平均值是一个随机变量,它是随着样本的不同而变化的. 2.随着样本容量的增加,样本的平均值与总体的平均值有什么关系? [答案] 随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于总体的平均值. 3.当离散型随机变量服从超几何分布 时,如何计算它的数学期望? [答案] 列出分布列,利用期望公式计算,也可以利用超几何分布的期望公式 计算. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)随机变量的均值反映了样本的平均水平. ( ) (2)若随机变量的均值,则 . ( ) √ (3)若随机变量服从两点分布,则 . ( ) √ 自主预习 5 2.已知离散型随机变量 的分布列为 1 2 3 则的数学期望 ( ) . A A. B.2 C. D.3 [解析] . 自主预习 6 3.某袋中装有黑球、白球共7个,从中任取2个球,令取到白球的个数为,且 , 则该袋中白球的个数为_. 3 [解析] 设该袋中白球的个数为,则,所以,解得 , 即该袋中白球的个数为3. 4.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次,随机变量 表示“正面朝上”出现的次数.求: (1) 的分布列; (2) . 自主预习 7 [解析] (1)依题意,抛一枚质地均匀的硬币,正面、反面朝上的概率均为 , 所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次,正面朝上的次数, ,故 ,, , 即,,,, . 所以 的分布列为 0 1 2 3 4 (2)因为,,所以 . 自主预习 8 探究1 离散型随机变量的期望 问题1: 某商场要将单价分别为18元/,24元/,36元/的3种糖果按 的比例 混合销售,如何对混合糖果定价才合理? [答案] 因为平均在每的混合糖果中,3种糖果的质量分别是,和 ,所 以混合糖果的合理价格应该是(元/ ).它是三种糖果价 格的一种加权平均,这里的权数分别是,和 . 合作探究 9 问题2: 什么是权数?什么是加权平均? [答案] 权是秤锤,权数是起权衡轻重作用的数值.加权平均是指在计算若干个数量的平均数时,考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同,分别给予不同的权数. 合作探究 10 问题3: 如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,你能解释权数的实际含义吗? [答案] 根据古典概型计算概率的公式可知,在混合糖果中,任取一颗糖果,这颗糖果 为第一、二、三种糖果的概率分别为,,,即取出的这颗糖果的价格为18元/ ,24 元/,36元/的概率分别为,,.用 表示这颗糖果的价格,则它是一个离散型随 机变量,其分布列为 18 24 36 因此权数恰好是随机变量 取每种价格的概率. 合作探究 新知生成 离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量 的分布列如下表: … … … … 则称为随机变量 的数学期望(简称期 望)或均值. 均值刻画的是取值的“中心位置”,反映了离散型随机变量 取值的平均水平, 是随机变量 的一个重要特征. 合作探究 12 新知运用 例1 某赛事的某个项目招募志愿者,报名人员需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试,测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道,规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试,至少答对2道题者视为合格,已知每位参加测试的人员测试能否合格是相互独立的.若甲能答对其中的6道题,乙能答对其中的8道题.求: (1)甲、乙两人至多一人测试合格的概率; (2)甲答对的试题数 的分布列和数学期望. 合作探究 13 [解析] (1)根据题意,甲测试合格的概率为 , 乙测试合格的概率为 , 故甲、乙两人都测试合格的概率为 , 则甲、乙两人至多一人测试合格的概率为 . 合作探究 14 (2)由题可知,甲答对的试题数 的所有可能取值为0,1,2,3, , , , , 故 的分布列为 0 1 2 3 则的数学期望 . 合作探究 15 求离散型随机变量 的均值的步骤:(1)根据 的实际意义,写出 的全 部取值;(2)求出 的每个值的概率;(3)写出 的分布列;(4)利用定义求出均 值.其中第(1)(2)两条是解答此类题目的关键,在求解过程中应注重应用概率的相 关知识. 合作探究 16 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”,规则如下:嘉宾需要猜三道题目,猜对一道题目可得1分,猜对两道题目可得3分,三道题目完全猜对可得6分,若