2024年中考数学重难题型研究（山西卷）题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（九）二次函数中正方形的存在性问题

2024年中考数学重难题型研究（山西卷） 题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（九） 二次函数中正方形的存在性问题 1、 题型解读 正方形作为特殊四边形中最特殊的一类，正方形拥有更多的性质，因此平面直角坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，在求解这类综合题时，结合“分类讨论思想”，“方程思想”“正方形的判定方法”，注意利用数形结合的数学思想，从数与形不同的角度寻找解题策略。 二、解题策略 1. 涉及知识点 （1）有一个角为直角的菱形； （2）有一组邻边相等的矩形； （3）对角线互相垂直平分且相等的四边形 2. 基本题型 （1）2个定点+2个全动点； （2）1个定点+2个半动点+1个全动点; （3）4个半动点 3.解题思路 思路1：从判定出发 （1）若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等； （2）若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直； （3）若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件． 例1-1．如图，抛物线的顶点坐标为，且经过点，点P是第一象限内的抛物线上的一点，且在对称轴右侧，过点P作轴于点M，轴于点N，设点P的横坐标为m． (1)求这条抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求的值； (3)求四边形的周长的最大值； (4)若直线PN与这条抛物线的另一个交点为点Q，直接写出当时m的值． 例1-2．如图，抛物线过点，点是抛物线上一个动点，过点作矩形，使边在轴上（点在点的左侧），点在抛物线上，设点的横坐标是，当时，．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为何值时，四边形是正方形？ (3)保持时的矩形不动，将抛物线向右平移，平移后的抛物线与矩形边的交点分别是，直线平分矩形的面积，请直接写出平移后的抛物线解析式． 针对练习1 1．如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴相交于，两点，点在点的左侧，与轴相交于点，点在轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点在抛物线上并且和点关于抛物线的对称轴对称，作矩形，其中点，都在轴上． (1)求抛物线解析式； (2)设点横坐标为， 用含有的代数式表示点的横坐标为______直接填空； 当矩形为正方形时，求点的坐标； 连接，当与垂直时，求点的坐标； (3)过顶点作轴于点，过点作于点，直接写出与相似时，点的坐标． 2．如图，已知抛物线的图像与坐标轴分别交于三点，连接，点M是的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线． (1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______； (2)若点P为直线下方抛物线上动点，过点P作轴，交直线于点Q，当为直角三角形时，求点P的坐标； (3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由． 3.已知二次函数的图象经过点和． (1)求此二次函数的解析式、对称轴及顶点坐标； (2)设点是函数图象上一动点，且位于第四象限，四边形是以为对角线的平行四边形．求平行四边形的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当平行四边形的面积为24时，判断平行四边形是否为菱形？并判断是否存在点，使得平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 思路2：构造三垂直全等 若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点． 例2-1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B抛物线经过A，B两点，是位于对称轴左侧的抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点的横坐标； (3)设是抛物线的对称轴上一点，是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求此正方形的面积． 例2-2．如图．抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，当点D在直线上方时，作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标； (3)点P在抛物线的对称的上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形是正方形时，直接写出点P的坐标． 针对练习2 1．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当最大时，求点D的坐标并求此时面积的最大值； (3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，求点Q的坐标． 2．综合与探究 如图，某一次函数与二次函数的图象交点为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，点的坐标为　　　　； (3)点为二次函数位于线段下方图象上一动点，过点作轴，交线段于点，求面积的最大值； (