2.4 课时3 向量与平行课件-2023-2024学年高二数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.4 空间向量在立体几何中的应用 1 课时3 向量与平行 2 1.用直线的方向向量和平面的法向量证明线面的平行关系.（逻辑推理、数学运算） 2.建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题 .（逻辑 推理、直观想象） 学习目标 3 1.直线的方向向量（平面的法向量）是否唯一？ [答案] 不唯一，直线的方向向量（平面的法向量）有无数个，它们是共线向量. 2.直线与直线平行，它们的方向向量是什么关系？ [答案] 直线与直线平行，它们的方向向量平行. 3.若直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线与平面的位置关系如何？ [答案] 直线与平面平行或直线在平面内. 4.若两平面的法向量平行，这两平面的位置关系是什么？ [答案] 两平面平行或重合. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若向量,为平面 的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线 一定平行. ( ) √ （2）若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反. ( ) √ 2.已知直线的方向向量为，平面 内两共点向量,，则下列关系中能表示 的是( ) . D A. B. C. D.以上均不能 [解析] 选项A，B，C均表示 或 . 自主预习 5 3.若平面 ， 的一个法向量分别为,,，,, ，则( ) . D A. B. C. 与 相交但不垂直 D. 或 与 重合 [解析] ，， 或 与 重合. 4.设是平面 的法向量，是直线的方向向量，根据下列条件判断 与 的位置关系： （1）， ； （2）， ； （3）， . 自主预习 6 [解析] （1）因为， ， 所以 ， 所以，所以 或 . （2）因为， ， 所以，所以，所以 . （3）因为， ， 所以与不共线也不垂直，所以与 斜交. 自主预习 7 探究1 直线与直线平行 双杠是男子竞技体操项目之一.它是由金属的架子支撑两条平行的木头、塑胶或合成金属制成的杠.一套典型的双杠动作包括在支撑位置、倒立位置和挂臂位置的转换.双杠于1896年被列为奥运会比赛项目. 合作探究 8 问题1： 如何利用向量的方法证明图中两杠 ？ 证明两直线， 的方向向量平行即可. 问题2： 如何证明两个向量， 平行？ [答案] 要证，只需证明 . 问题3： 两条直线平行，它们的方向向量平行吗？ [答案] 平行. 合作探究 9 新知生成 直线与直线平行 设两条不重合的直线，的方向向量分别为， ，则 . 合作探究 10 新知运用 例1 如图所示，在正方体中，， 分别为 ，的中点.求证：四边形 是平行四边形. 方法指导 证明四边形 是平行四边形，即证明四边形的对边互相平行，进而转化为证明直线的方向向量平行. 合作探究 11 [解析] 以为坐标原点，分别以，， 为正交基底建立空间直角坐标系（图 略），不妨设正方体的棱长为1，则，，， ， ，，，，1， ， ，，， . 又，，， ， 四边形 是平行四边形. 合作探究 12 1.两直线平行 两直线的方向向量共线. 2.两直线的方向向量共线 两直线平行或重合，所以由两直线的方向向量共线证明两直线平行时，必需指出两直线不重合. 合作探究 13 在长方体中，，分别是面对角线， 上的点，且 ，.求证： . [解析] 如图所示，以为坐标原点，分别以，， 所在 的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 . 设，，，则，， ， ，，，，，，，， ， . 又与不共线， . 合作探究 14 探究2 直线与平面平行 问题1： 若直线的方向向量为，平面 的一个法向量为 ， 则与 的位置关系是什么？ [答案] ，， 或 . 问题2： 如何利用向量证明空间中直线与平面平行？ [答案] 直线与平面平行的充要条件是直线在平面外且直线的方向向量与平面的法向量垂直. 合作探究 15 新知生成 设直线的方向向量为，平面 的法向量为， ， 则 . 合作探究 16 新知运用 例2 在正方体中，，分别是，的中点.求证： 平面 . 方法指导 可以证明与平面的法向量垂直；可以在平面内找一向量与共线；也可以证明能用平面 中的两个不共线向量线性表示. 合作探究 17 [解析] （法一）如图，以为坐标原点，，， 所在的直 线分别为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，，， ，于是 ，， . 设平面的法向量为，则 即取，则， ， 平面的一个法向量为 . 合作探究 18 又，0， ， ，又 平面 ， 平面 . （法二） ， ， . 平面， 平面，平面