2.4.2.2 向量与平行-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

第2课时　向量与平行 [学习目标]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系． 导语 观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行．旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？ 一、直线与直线平行 问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 提示　平行． 知识梳理 两直线平行的判定方法 设v1，v2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔v1∥v2⇔∃k∈R，使得v2＝kv1. 注意点： (1)此处不考虑线线重合的情况． (2)直线的方向向量不是唯一的，解题时，最好选用坐标较简单的方向向量． 例1　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在棱DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS. 证明　方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S. 则，分别为MN，RS的方向向量， 又＝，＝， 所以＝，所以∥，因为M∉RS， 所以MN∥RS. 方法二　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＋＝c－a＋b， ＝＋＋＝b－a＋c. 所以＝， 所以∥. 又R∉MN， 所以MN∥RS. 反思感悟　利用向量证明线线平行的两种思路 跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 证明　方法一　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直．以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)，N，M，所以＝(－1,0,1)，＝，所以＝，又M∉AP，故MN∥AP. 方法二　由题意可得＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋＋＝＋＝(＋)＝，又M∉AP，所以MN∥AP. 二、直线与平面平行 问题2　如图，直线l与平面α平行，u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 提示　垂直． 知识梳理 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 例2　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB. 证明　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a. 连接AC，交BD于点G，连接EG， 依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，B(a，a,0)． 方法一　设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)， 又＝，＝， 则有 即即 令z＝1，则所以n＝(1，－1,1)， 又＝(a,0，－a)， 所以n·＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0. 所以n⊥. 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法二　因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为， 所以＝. 又＝(a,0，－a)， 所以＝2，这表明PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 方法三　假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， 即(a,0，－a)＝λ＋μ， 则有 解得 所以＝－＋，又PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 延伸探究　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝AD＝1.则在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出点E的位置，若不存在，请说明理由． 解　以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图． 则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)． 假设在棱PD上存在符合题意的点E， 设E(0，y，z)， 则＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)． ∵∥， ∴－y－2(z－1)＝0.① ∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量， ＝(－1，y－1，z)， ∴由CE∥平面PAB，可得⊥. ∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0. ∴y＝1，代入①式得z＝. ∴E是PD的中点，即存在点E为PD的中点时，CE∥平面PAB. 反思感悟　利用空间向量证明线面平行一般有三种方法 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 跟踪训练2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点． 求证：MN∥平面A1BD. 证明　方法一　∵＝－＝－ ＝－－＋ ＝－， ∴，，是共面向量． 又∵MN⊄平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 方法二　∵＝－＝－ ＝(－)＝， ∴∥. 又∵MN⊄平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 方法三　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．设正方体的棱长为1，则可求得 M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)． 于是＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则 得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)． ∵·n＝·(1，－1，－1)＝0， ∴⊥n. 又∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD. 三、平面与平面平行 问题3　如图，平面α，β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 提示　平行． 知识梳理 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃k∈R，使得n1＝kn2. 注意点： 证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 例3　如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′. 证明　方法一　设该正方体的棱长为1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B′(1,1,1)， D′(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，C′(0,1,1)，于是＝(0,1,1)，＝(1,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,1)． 设平面AB′D′的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则 令y1＝1，则x1＝－1，z1＝－1， 可得n1＝(－1,1，－1)． 设平面BDC′的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则 令y2＝1，则x2＝－1，z2＝－1， 可得n2＝(－1,1，－1)． 所以n1＝n2，所以n1∥n2， 故平面AB′D′∥平面BDC′. 方法二　由方法一知＝(－1,0,1)，＝(－1,0,1)，＝(0,1,1)，＝(0,1,1)，所以＝，＝，即AD′∥BC′，AB′∥DC′，又AD′⊄平面BDC′，BC′⊂平面BDC′，AB′⊄平面BDC′，DC′⊂平面BDC′，所以AD′∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′. 又AD′∩AB′＝A，且AD′⊂平面AB′D′，AB′⊂平面AB′D′，所以平面AB′D′∥平面BDC′. 方法三　由方法一得平面AB′D′的一个法向量为n1＝(－1,1，－1)．易知＝(1,1,0)，＝(0,1,1)．因为n1·＝(－1,1，－1)·(1,1,0)＝0，n1·＝(－1,1，－1)·(0,1,1)＝0，DB，DC′⊂平面BDC′，所以n1也是平面BDC′的一个法向量，所以平面AB′D′∥平面BDC′. 反思感悟　证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行，然后用向量共线进行证明． 跟踪训练3　如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点． 求证：平面AA1D1D∥平面FCC1. 证明　因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点， 所以BF＝BC＝CF， 所以△BCF为正三角形． 因为底面ABCD为等腰梯形，所以∠BAD＝∠ABC＝60°. 取AF的中点M，连接DM， 则DM⊥AB，所以DM⊥CD. 以D为原点，DM，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(，－1,0)，F(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， 所以＝(0,0,2)，＝(，－1,0)，＝(，－1,0)，＝(0,0,2)， 所以∥，∥，则DD1∥CC1，DA∥CF， 又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面AA1D1D，CC1，CF⊂平面FCC1， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 1．知识清单： (1)线线平行的向量表示． (2)线面平行的向量表示． (3)面面平行的向量表示． 2．方法归纳：坐标法、转化化归． 3．常见误区：用向量方法证明线线平行时，忽视对两直线不重合的说明；证明线面平行时，忽视直线不在平面内的说明；证明面面平行时，忽视对两个平面不重合的说明． 1．给出下列说法，正确的是(　　) A．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反 B．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量 C．两直线的方向向量平行，则两直线平行 D．直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行 答案　A 解析　两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要么相反，A正确；一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线，在应用时，可以根据需要进行选取，B错误；两直线的方向向量平行，说明两直线平行或重合，C错误；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平面内，D错误． 2．若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2,2，－4)，则(　　) A．l1∥l2 B．l1与l2相交 C．l1与l2重合 D．l1∥l2或l1与l2重合 答案　D 解析　∵b＝－2a，∴l1与l2平行或重合． 3．设平面α，β的一个法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，则α，β的位置关系为________． 答案　平行或重合 解析　∵v＝－3(1,2，－2)＝－3u， ∴α∥β，或α与β重合． 4．已知直线l的一个方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为________． 答案　l∥α或l⊂α 解析　∵u·v＝(2,0，－1)·(－2,1，－4)＝－4＋0＋4＝0， ∴u⊥v，∴l∥α或l⊂α. 1．已知向量 a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线 l1，l2 的方向向量，若 l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 答案　D 解析　由题意得，＝＝，∴x＝6，y＝. 2．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是(　　) A．l⊥α B．l∥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α 答案　D 解析　因为a·u＝－3＋4－1＝0， 所以a⊥u. 所以l∥α或l⊂α. 3．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　) A．－ B．6 C．－6 D. 答案　B 解析　∵α∥β， ∴α的法向量与β的法向量也互相平行． ∴＝＝， ∴λ＝6. 4．(多选)若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则不可能使l∥α的是(　　) A．m＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．m＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．m＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．m＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 答案　ABC 解析　若l∥α，则需m⊥n，即m·n＝0，根据选项验证可知，A中，m·n＝－2； B中，m·n＝6； C中，m·n＝－1； D中，m·n＝0， 故选A，B，C. 5．已知两平行直线的方向向量分别为a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4,2－2m,2－2m)，则实数m的值为(　　) A．1 B．3 C．1或3 D．以上答案都不正确 答案　C 解析　由题意知a∥b. 因为b＝(4,2－2m,2－2m)≠0， 所以“a∥b的充要条件是a＝λb”， 即显然m＝1符合题意， 当m≠1时，由m－1＝λ(2－2m)，得λ＝－， 代入4－2m＝4λ，得m＝3. 综上，m的值为1或3. 6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 答案　B 解析　根据题意建系如图， 设正方体的棱长为2， 则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)， ∴M(2,1,1)，N(1,1,2)， ∴＝(－1,0,1)． 又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)， ∴·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0， ∴⊥n， 又∵MN⊄平面BB1C1C， ∴MN∥平面BB1C1C. 7．若平面α的一个法向量为μ1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为μ2＝(6，－2，z)，若α∥β，则y＝________，z＝________. 答案　1　－4 解析　∵α∥β， ∴μ1∥μ2， ∴存在实数λ使得μ1＝λμ2， 即(－3，y,2)＝λ(6，－2，z)， ∴ 解得λ＝－，y＝1，z＝－4. 8．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________________. 答案　 解析　由题意，知 即解得 所以a＝. 9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：C1F∥平面ABE. 证明　如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设BC＝a，AB＝b，BB1＝c， 则B(0,0,0)，A(0，b,0)，C1(a,0，c)，F，E. 所以＝(0，－b,0)，＝. 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 令x＝2，则y＝0，z＝－，即n＝. 又＝， 所以 n·＝0， 又C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE. 10.如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点． (1)求证：MN∥平面PAD； (2)求证：平面MNQ∥平面PAD. 证明　(1)如图所示，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设B(b,0,0)，D(0，d,0)，P(0,0，d)．则C(b，d,0)，因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，所以M，N，Q， 所以＝.因为平面PAD的一个法向量为m＝(1,0,0)，所以·m＝0，即⊥m.又因为MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD. (2)＝(0，－d,0)，所以·m＝0，所以⊥m，又QN⊄平面PAD，所以QN∥平面PAD.又因为MN∩QN＝N，MN，QN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PAD. 11．已知平面α内的三点A，B，C，平面β的一个法向量为n＝，且β与α不重合，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对 答案　A 解析　＝，＝， 由n·＝·＝－1×0＋×1＋×＝0， n·＝·＝－1×1＋0＋×＝0， 得n⊥，n⊥， 可知n也为平面α的一个法向量， 又α与β不重合， 因此，α∥β. 12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直不相交 D．垂直且相交 答案　B 解析　设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建系后，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)， 设＝(a，b，c)， 由题意知，⊥，⊥， 则 取a＝1，则b＝1，c＝－1，＝(1,1，－1)， 又＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－， 所以 ∥， 又P∉BD1， 于是PQ∥BD1. 13.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则点M的坐标为(　　) A．(1,1,1) B. C. D. 答案　C 解析　方法一　由题意得C(0,0,0)，D(，0,0)，B(0，，0)，E(0,0,1)，A(，，0)， ＝(－，0,1)，＝(，－，0)， 设M(a，a,1)，平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝，则x＝1，y＝1，所以n＝(1,1，)， 又＝(a－，a－，1)， 则·n＝a－＋a－＋＝0， 所以a＝，即M. 方法二　如图，设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE， 所以AM∥EO， 又O是正方形ABCD对角线交点， 所以M为线段EF的中点． 在空间直角坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1)． 由中点坐标公式，知点M的坐标为. 14．(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是(　　) A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 答案　ACD 解析　因为＝＋＝＋， ＝＋＝＋， 所以 ∥，又A1∉D1P，从而A1M∥D1P，可得ACD正确． 又B1Q与D1P不平行，故B不正确． 15．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是________，||的最小值为________． 答案　平行　 解析　以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(1,0,1)，E，B(1,1,0)，若P，Q均在平面A1B1C1D1内，设P(a，b,1)，Q(m，n,1)，＝，＝(a－1，b－1,1)，＝(m－1，n－1,1)，＝(a－1，b,0)． 因为BP⊥A1E，BQ⊥A1E， 所以 解得两式相减可得m－a＝n－b， 又＝(m－a，n－b,0)＝(n－b，n－b,0)，＝(－1，－1,0)， 所以∥，因为P∉BD， 所以PQ与BD的位置关系是平行． ||＝ ＝＝ ＝， 当a＝时，||有最小值，最小值为. 16.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 解　如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，Q(0,1，m)， 则O，P，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)． 方法一　因为＝， ＝(－1，－1,1)＝2， 所以∥， 又O∉BD1， 于是OP∥BD1. ＝，＝(－1,0，m)， 当m＝时，＝， 即AP∥BQ， 因为OP∥BD1，OP⊄平面D1BQ，BD1⊂平面D1BQ， 所以OP∥平面D1BQ. 同理，AP∥平面D1BQ，又AP∩OP＝P，AP，OP⊂平面PAO， 所以平面PAO∥平面D1BQ. 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 方法二　＝，＝. 设平面PAO的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则有n1⊥，n1⊥， 因此 取x1＝1，则n1＝(1,1,2)． 又因为＝(－1，－1,1)，＝(0，－1,1－m)． 设平面D1BQ的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则有n2⊥，n2⊥， 因此 取z2＝1，则n2＝(m,1－m,1)． 要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2， 因此＝＝，解得m＝， 这时Q. 故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 学科网（北京）股份有限公司 $$